次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$を利用して，不定積分$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．

(2)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2} \tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2} \tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^2e^x (x>-3)$を考える．


(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．

(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ e)$における接線の方程式を求めよ．

(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^x \, dx$を求めよ．

(4)曲線$y=f(x)$と$(2)$で求めた接線と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．

関数$f(x)=(\log x)^2-\log x (x>0)$を考える．次の各問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ．また関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし関数$y=f(x)$の増減，凹凸，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を明示すること．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$f(x)=\log_2 (x+1)+\log_2 (x-2)-2$，$g(x)=|x(x-2)|$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$f(x)=\log_2 (x+1)+\log_2 (x-2)-2$，$g(x)=|x(x-2)|$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$は正の定数とする．関数$f(x)=ax-x \log x$の最大値が$1$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうち，傾きが$\displaystyle -\frac{1}{2}$であるものを求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$(2)$で求めた接線によって囲まれる部分の面積を求めよ．

点$\mathrm{A}(1,\ 0)$および点$\displaystyle \mathrm{P}(\sqrt{3} \cos \theta,\ \sqrt{3} \sin \theta) \left( 0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$がある．$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とし，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$を通る直線を$\ell$，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．次に答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)$\sqrt{3} \cos \theta>1$を示せ．
(2)直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と直線$m$の交点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{PAQ}$の面積を$S$とする．$\theta$が変化するとき，$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(5)$\theta$が$(4)$で求めた値をとるとき，$2$直線$\ell,\ m$および曲線$x^2+y^2=3 (x \geqq \sqrt{3} \cos \theta)$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．