$a>1$とし，$2$つの曲線
\[ \begin{array}{lll}
y=\sqrt{x} & & (x \geqq 0), \\
\displaystyle y=\frac{a^3}{x} & & (x>0)
\end{array} \]
を順に$C_1,\ C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$y$軸および直線$\ell_1$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と直線$\ell_1$のなす角を$\theta(a)$とする$\displaystyle \left( 0<\theta(a)<\frac{\pi}{2} \right)$．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}a \sin \theta(a)$を求めよ．

$a$は$0$でない実数とする．直線$y=ax$と曲線$y=x \log (x+1)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

$n$は自然数とする．

(1)$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$に対して
\[ \int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi} \sin 2nt \cos t \, dt=(-1)^{k+1} \frac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \frac{k}{2n}\pi+\cos \frac{k-1}{2n}\pi \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)媒介変数$t$によって
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2nt \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
と表される曲線$C_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ．ただし必要なら
\[ \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k}{2n}\pi=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \displaystyle\frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad (n \geqq 2) \]
を用いてよい．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
（図は省略）

$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を実数の定数とする．$2$曲線$y=x^2$と$\displaystyle y=\frac{4}{x+a}$がちょうど$2$つの共有点を持っているとき，下の問いに答えなさい．

(1)$a$の値を求めなさい．
(2)$2$曲線で囲まれた図形の面積を求めなさい．

関数$\displaystyle f(x)=\log (x+1)-\frac{1}{2}\log (x^2+1) \ (x>-1)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．
(2)$k$を実数とする．$x$についての方程式$f(x)=k$の相異なる実数解の個数を調べよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

$k$を正の定数とする．$2$つの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right),\quad C_2:y=k \tan x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の交点におけるそれぞれの曲線の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．直線$\ell_1,\ \ell_2$がなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とするとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle k=\frac{3}{2}$のとき，曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}$に対して，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$，および，$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$について，傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$，(3)で求めた接線$\ell$，直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

関数$f(x)=x+2 \sin x$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$0<x<2\pi$において関数$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を$\alpha,\ \beta \ (0<\alpha<\beta<2\pi)$とする．曲線$y=f(x)$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha$，$x=\beta$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．