「曲線」について
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私立 東京理科大学 2014年 第3問$a$を正の実数として，
\[ f(x)=\frac{ax+1}{x^2+2} \]
とおく．$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{4}{3}$で極値をとるとする．
(1)$a$の値は$[ア][イ]$である．
(2)$f(x)$の最小値は$-[ウ]$であり，そのときの$x$の値は$\displaystyle -\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)$k$を実数として，座標平面上で曲線$y=f(x)$と直線$y=k$を考える．その共有点がただ$1$つになるのは，$\displaystyle k=-[カ],\ [キ],\ \frac{[ク]}{[ケ]}$のときである．
\[ f(x)=\frac{ax+1}{x^2+2} \]
とおく．$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{4}{3}$で極値をとるとする．
(1)$a$の値は$[ア][イ]$である．
(2)$f(x)$の最小値は$-[ウ]$であり，そのときの$x$の値は$\displaystyle -\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)$k$を実数として，座標平面上で曲線$y=f(x)$と直線$y=k$を考える．その共有点がただ$1$つになるのは，$\displaystyle k=-[カ],\ [キ],\ \frac{[ク]}{[ケ]}$のときである．
私立 東京理科大学 2014年 第4問次の$[ ]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
次の曲線と直線について考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数で，$a>0$，$b$は$0$でないとする．
$C:y=ax^2+bx+c$
$\ell_1:y=x$
$\displaystyle \ell_2:y=-\frac{1}{b}x-d$
$C$は，$x$軸と点$\mathrm{P}$で接し，$\ell_1$と点$\mathrm{Q}$で接する．$\ell_2$は点$\mathrm{P}$を通るものとする．また，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$\displaystyle b=\frac{[リ]}{[ル]},\ ac=\frac{[レ]}{[ロ][ワ]}$
(2)$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$と曲線$C$で囲まれる図形の面積が$2$であるとき，
\[ a=\frac{[ヲ]}{[ン]},\quad d=[あ] \]
である．
(3)このときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標はそれぞれ，
\[ \mathrm{P} (-[い],\ 0),\quad \mathrm{Q}([う],\ [う]),\quad \mathrm{R} \left( -\frac{[え]}{[お]},\ -\frac{[え]}{[お]} \right) \]
である．
次の曲線と直線について考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数で，$a>0$，$b$は$0$でないとする．
$C:y=ax^2+bx+c$
$\ell_1:y=x$
$\displaystyle \ell_2:y=-\frac{1}{b}x-d$
$C$は，$x$軸と点$\mathrm{P}$で接し，$\ell_1$と点$\mathrm{Q}$で接する．$\ell_2$は点$\mathrm{P}$を通るものとする．また，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$\displaystyle b=\frac{[リ]}{[ル]},\ ac=\frac{[レ]}{[ロ][ワ]}$
(2)$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$と曲線$C$で囲まれる図形の面積が$2$であるとき，
\[ a=\frac{[ヲ]}{[ン]},\quad d=[あ] \]
である．
(3)このときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標はそれぞれ，
\[ \mathrm{P} (-[い],\ 0),\quad \mathrm{Q}([う],\ [う]),\quad \mathrm{R} \left( -\frac{[え]}{[お]},\ -\frac{[え]}{[お]} \right) \]
である．
私立 北里大学 2014年 第2問関数$f(x)=x^3-5x^2+3x+9$について，次の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の接線で，点$(3,\ -6)$を通るものの方程式を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の接線で，点$(3,\ -6)$を通るものの方程式を求めよ．
私立 立教大学 2014年 第2問$k$を実数とし，座標平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:y=k \cos x,\quad C_2:y=\sin 2x \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C_1,\ C_2$が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において共有点をもつとき，$k$の取りうる値の範囲を求めよ．
以下では$k$が$(1)$の条件を満たすものとし，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$における$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(2)$\sin a$を$k$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$0 \leqq x \leqq a$の部分において，$C_1$，$C_2$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$k$を用いて表せ．
(4)座標平面上の$\displaystyle a \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分において，$C_1$，$C_2$によって囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$を用いて表せ．
(5)$k$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
\[ C_1:y=k \cos x,\quad C_2:y=\sin 2x \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C_1,\ C_2$が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において共有点をもつとき，$k$の取りうる値の範囲を求めよ．
以下では$k$が$(1)$の条件を満たすものとし，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$における$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(2)$\sin a$を$k$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$0 \leqq x \leqq a$の部分において，$C_1$，$C_2$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$k$を用いて表せ．
(4)座標平面上の$\displaystyle a \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分において，$C_1$，$C_2$によって囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$を用いて表せ．
(5)$k$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
私立 東京理科大学 2014年 第5問座標平面上の曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 9)$をとり，$t$を実数として，点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$をとる．$f(t)=\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$とおく．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積を表している．さらに，$t \neq -1,\ 3$のとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角を$\theta$とおく．ただし，$0 \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(1)$t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$f(t)$は$t$の$4$次式となる．それを降べきの順に整理して書け．
(3)$f(t)$は
\[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし，$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \]
の形に書ける．$f(t)$をこの形に書き表せ．
(4)$-1<t<3$の範囲内で，$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
(5)左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ．
(1)$t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$f(t)$は$t$の$4$次式となる．それを降べきの順に整理して書け．
(3)$f(t)$は
\[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし，$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \]
の形に書ける．$f(t)$をこの形に書き表せ．
(4)$-1<t<3$の範囲内で，$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
(5)左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ．
私立 松山大学 2014年 第4問次の空所$[ア]$～$[ト]$を埋めよ．
関数$\displaystyle f(x)=x^3+\frac{1}{2}ax^2-6x-\frac{1}{2}b$がある．ただし，
\[ a=\int_0^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ① \qquad b=\int_{-1}^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ② \]
とする．
(1)関数$f(x)$の不定積分は
\[ \int f(t) \, dt=\frac{1}{[ア]}t^4+\frac{1}{[イ]}at^3-[ウ]t^2-\frac{1}{[エ]}bt+C \quad \text{（$C$は積分定数）} \]
であり，式$①$，$②$より$a=-[オ]$，$\displaystyle b=-\frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)$y=f(x)$が表す曲線$A$において，$\displaystyle x=\frac{3}{2}$のときの接線$B$を$y=g(x)$とおくと，関数$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]x-[コ] \]
であるので，
\[ g(x)=-\frac{[サシ]}{[ス]}x-\frac{[セソ]}{[タ]} \]
である．
接点以外の，曲線$A$と接線$B$の交点は，$\displaystyle \left( -\frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$である．
関数$\displaystyle f(x)=x^3+\frac{1}{2}ax^2-6x-\frac{1}{2}b$がある．ただし，
\[ a=\int_0^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ① \qquad b=\int_{-1}^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ② \]
とする．
(1)関数$f(x)$の不定積分は
\[ \int f(t) \, dt=\frac{1}{[ア]}t^4+\frac{1}{[イ]}at^3-[ウ]t^2-\frac{1}{[エ]}bt+C \quad \text{（$C$は積分定数）} \]
であり，式$①$，$②$より$a=-[オ]$，$\displaystyle b=-\frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)$y=f(x)$が表す曲線$A$において，$\displaystyle x=\frac{3}{2}$のときの接線$B$を$y=g(x)$とおくと，関数$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]x-[コ] \]
であるので，
\[ g(x)=-\frac{[サシ]}{[ス]}x-\frac{[セソ]}{[タ]} \]
である．
接点以外の，曲線$A$と接線$B$の交点は，$\displaystyle \left( -\frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$である．
私立 東京医科大学 2014年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)座標平面上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{1}{4} \right)$を通る$2$曲線$\displaystyle C_1:y=\frac{1}{4}x^2$，$C_2:ax^2+by^2=1$（$a,\ b$は正の定数）を考える．点$\mathrm{A}$における$2$曲線$C_1,\ C_2$の接線が直交するとき
\[ a=\frac{[ア]}{[イ]},\quad b=\frac{[ウエ]}{[オ]} \]
である．
(2)座標平面の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が円$\displaystyle C:(x-1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{16}$上を動くとき，式
\[ \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \]
がとる最大値を$M$とすれば
\[ M=\frac{[カキ]}{[クケ]} \]
である．
(1)座標平面上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{1}{4} \right)$を通る$2$曲線$\displaystyle C_1:y=\frac{1}{4}x^2$，$C_2:ax^2+by^2=1$（$a,\ b$は正の定数）を考える．点$\mathrm{A}$における$2$曲線$C_1,\ C_2$の接線が直交するとき
\[ a=\frac{[ア]}{[イ]},\quad b=\frac{[ウエ]}{[オ]} \]
である．
(2)座標平面の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が円$\displaystyle C:(x-1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{16}$上を動くとき，式
\[ \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \]
がとる最大値を$M$とすれば
\[ M=\frac{[カキ]}{[クケ]} \]
である．
私立 東京医科大学 2014年 第3問座標平面の曲線$C:y=\sqrt{x^2+9}$上の点$\mathrm{A}(4,\ 5)$における接線を$L$とする．
(1)接線$L$の方程式は
\[ y=\frac{[ア]}{[イ]}x+\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)曲線$C$，接線$L$および$y$軸とで囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[オカ]}{[キ]} \pi \]
である．
(1)接線$L$の方程式は
\[ y=\frac{[ア]}{[イ]}x+\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)曲線$C$，接線$L$および$y$軸とで囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[オカ]}{[キ]} \pi \]
である．
私立 東京医科大学 2014年 第4問座標平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^2+1,\quad C_2:x=ay^2+1 \quad (a \text{は正の定数}) \]
を考える．
(1)$2$つの曲線$C_1,\ C_2$が$2$点で交わるような正の定数$a$の値の範囲は
\[ 0<a<\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{16}$のとき，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれた図形の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ウエ]}{[オカ]} \]
である．
\[ C_1:y=ax^2+1,\quad C_2:x=ay^2+1 \quad (a \text{は正の定数}) \]
を考える．
(1)$2$つの曲線$C_1,\ C_2$が$2$点で交わるような正の定数$a$の値の範囲は
\[ 0<a<\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{16}$のとき，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれた図形の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ウエ]}{[オカ]} \]
である．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第4問$y=\sqrt{x}$で表される曲線$C$と，$C$上の点$\mathrm{A}(4,\ 2)$が与えられている．このとき以下の問いに答えなさい．
(1)点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線および法線の方程式を求めなさい．
(2)$(1)$で求めた法線と曲線$C$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めなさい．
(1)点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線および法線の方程式を求めなさい．
(2)$(1)$で求めた法線と曲線$C$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めなさい．