関数$f(x)=2x \sqrt{2+x^2}$について考える．

(1)導関数$f^\prime(x)=[ア]$である．
(2)第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)=[イ]$であり，$x=[ウ]$のとき$f^{\prime\prime}(x)=0$となる．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積は$[エ]$である．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[オ]$である．

関数$f(x)=2x+\cos x$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$C$とし，$C$と直線$y=2x$，および直線$x+2y=2$で囲まれた領域を$D$とする．領域$D$を直線$y=2x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよう．
（図は省略）

$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{[ア]}} \]
であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は
\[ t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \]
である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと
\[ s=\sqrt{[エ]} \left( t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \right) \]
である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は

$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$

$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[オ]} \pi}{[カ]} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{[キ]}{[ク]} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$

$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[ケ]} \pi^2}{[コサ]}-\frac{[シ] \sqrt{[ス]} \pi}{[セソ]}$
である．

関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx-8$と$g(x)=x^2-4x+8$がある．$f(x)$は$x=2$で極大値$0$をとり，$x=p$で極小値$f(p)$をとる．また，曲線$y=f(x)$が点$(1,\ -4)$を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．また，極小値$f(p)$を求めよ．
(2)曲線$y=g(x)$に点$(p,\ f(p))$から引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx-8$と$g(x)=x^2-4x+8$がある．$f(x)$は$x=2$で極大値$0$をとり，$x=p$で極小値$f(p)$をとる．また，曲線$y=f(x)$が点$(1,\ -4)$を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．また，極小値$f(p)$を求めよ．
(2)曲線$y=g(x)$に点$(p,\ f(p))$から引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=-5x^3+21x$と直線$\ell:y=x$の交点のうち$x$座標が正である点を$\mathrm{A}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$\triangle \mathrm{OAP}$の面積$S$を$t$の式で表せ．ただし，$0<t<2$とする．
(3)$0<t<2$とするとき，$(2)$で求めた$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

$a$を定数とする．直線$\ell:y=6ax$，曲線$C:y=|3x^2-6x|$について，次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$C$の共有点が$3$個になるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$とし，$\ell$と$C$の共有点の$x$座標を小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，$\ell$と$C$で囲まれた部分のうち$x$座標が$x_2$以上の部分の面積を求めよ．

$e$を自然対数の底とする．関数$y=xe^{2x}$のグラフを曲線$C$とおき，点$(1,\ e^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．次の各問に答えよ．

(1)$\ell$の方程式は$y=e^2([ア]x-[イ])$である．

(2)$\displaystyle \int_0^1 e^{2x} \, dx=\frac{e^2-[ウ]}{[エ]}$である．また，$\displaystyle \int_0^1 xe^{2x} \, dx=\frac{e^2+[オ]}{[カ]}$である．

(3)曲線$C$，接線$\ell$と$y$軸とで囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キ]e^2+1}{[ク]}$である．

$[ア]$～$[ツ]$を埋めよ．

(1)次を計算せよ．
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ．
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と，$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$，積は$180$である．$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳，姉の年齢は$[セソ]$歳である．
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である．
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である．

$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は
\[ \sin 5x+\sin 3x=[ア] \sin [イ]x \cos x \]
を用いれば
\[ [ウエ] \sqrt{[オ]}-[カキ] \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である．このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+([ク]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．いま，$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば
\[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ケ] ([コ]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
となるから
\[ m:n=[サ]:[シ] \]
である．
(3)数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る．その中で，数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると，どの桁の数字も偶数になるものは
\[ [スセ] \]
個ある．
(4)曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．

$3$次関数$f(x)=-x^3+ax^2$に対し，曲線$y=f(x)$と直線$y=2x-2$が接しているとする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表をかき極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$の$x \geqq 0$の部分と，$x$軸および直線$x=1$によって囲まれる図形の面積を求めよ．