曲線$C:y=xe^{2x}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)曲線$C$の変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における接線と$y$軸および曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

$f(x)=(x+a)e^{-x} (a \neq 0)$とする．曲線$y=f(x)$が原点を通る接線をただ$1$つもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$(1)$のとき，この曲線と$y$軸およびこの曲線の変曲点を通る接線とで囲まれる部分の面積を求めよ．

$x>0$において，つねに正の値をとる連続な関数$f(x)$がある．$xy$平面において，$0<a<b$をみたすすべての実数$a,\ b$に対して，曲線$y=f(x)$，$x$軸，直線$x=a$および直線$x=b$で囲まれた部分の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \]
であるとする．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$c>0$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(c,\ f(c))$における接線，$x$軸および$y$軸で囲まれた三角形の面積を$T$とするとき，$\displaystyle \lim_{c \to \infty}T$を求めよ．

$a>0$とする．$xy$平面において，放物線$y=x^2+1$の$x \geqq 0$の部分を$C$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2+1)$における接線を$\ell$，$\mathrm{A}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする．

(1)直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$，直線$m$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$3S_1=S_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=(x^2-2)^2$について考える．

(1)$f(x)$の増減と極値を調べ，それをもとに$y=f(x)$のグラフの概形を描きなさい．
(2)$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

$2$つの関数$f(x)=\log (a-4x)$，$g(x)=\log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数であり，$a>4$とする．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{B}$における接線と，曲線$y=g(x)$の点$\mathrm{B}$における接線が直交するとき，$a$の値を求めよ．
(4)$a$を$(3)$で求めた値とするとき，$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$がある．直線$\ell$は辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}(0,\ t) (0 \leqq t \leqq 2)$を通り，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$2$等分しているとする．直線$\ell$と$\triangle \mathrm{OAB}$の辺の$2$つの交点のうち，点$\mathrm{P}$でない方の点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq t \leqq 1$のとき，点$\mathrm{R}$の座標$(x,\ y)$を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$のとき，$x$のとる値の範囲を求めよ．また，$y$を$x$の式で表せ．
(3)$1 \leqq t \leqq 2$のとき，点$\mathrm{R}$の座標$(x,\ y)$を$t$を用いて表せ．
(4)$(3)$のとき，$x$のとる値の範囲を求めよ．また，$y$を$x$の式で表せ．
(5)$(2)$で求めた$x$の式を$f(x)$，$(4)$で求めた$x$の式を$g(x)$とする．$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

方程式$x^4-6x^2-4y^2+8y+5=0$で表される曲線$C$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の周囲の長さを求めよ．なお，曲線$y=f(x) (a \leqq x \leqq b)$の長さは次の積分で求められることを使ってよい．
\[ \int_a^b \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx \]

$0<x<\pi$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，$f^{\prime\prime}(x)>0$となることを示せ．これらの結果を増減表に書き，曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$0 \leqq t \leqq 1$に対し，$0<a \leqq x<\pi$を満たす任意の$a$と$x$を考えると，
\[ tf(a)+(1-t)f(x) \geqq f(at+(1-t)x) \]
が成り立つことを示せ．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$のそれぞれの角を$A,\ B,\ C$とすると$\displaystyle \frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C} \geqq 2 \sqrt{3}$が成り立つことを証明せよ．

関数$f(x)=x^2-4 |x+2|+2x+4$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の概形をかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフに$2$点で接する直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線と$y=f(x)$が囲む部分の面積を求めよ．