以下の$[ト]$，$[ナ]$，$[ニ]$には三角関数は$\sin \theta$と$\cos \theta$のみを用いて記入し，$[ヌ]$には$x$の式，$[ネ]$には$y$の式を記入すること．

座標平面上の$2$点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を結ぶ曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=f(\theta) \\
y=g(\theta)
\end{array} \right. \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表されているとする．いま，関数$f(\theta)$，$g(\theta)$は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で連続，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$で微分可能かつ$f^\prime(\theta) \neq 0$であるとする．また$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の接線の傾きが$-\tan \theta$であり，この接線から$x$軸，$y$軸で切り取られる線分の長さがつねに一定で$1$であるとする．
まず，この曲線$C$の方程式を求めたい．$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，曲線$C$上の点$(f(\theta),\ g(\theta))$における接線を$y=-(\tan \theta)x+h(\theta)$と表すと$h(\theta)=[ト]$となる．この接線の傾きが$\displaystyle \frac{g^\prime(\theta)}{f^\prime(\theta)}$となることより，$f(\theta)=[ナ]$，$g(\theta)=[ニ]$となる．したがって，曲線$C$を$x,\ y$の方程式で表すと
\[ [ヌ]+[ネ]=1 \quad (x \geqq 0,\ y \geqq 0) \]
となる．
次に，点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の法線を$\ell(\theta)$とする．$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{4}$のとき$\ell(\theta)$と$\displaystyle \ell \left( \frac{\pi}{4} \right)$との交点の$x$座標を$X(\theta)$とすると，$\displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{4}} X(\theta)=[ノ]$となる．
また，曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．

$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数$F(x)$を
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．

(1)直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は
\[ \left( \frac{[$15$]}{[$16$]} \alpha+\frac{[$17$]}{[$18$]} \beta,\ \frac{[$19$][$20$]}{[$21$]} (\beta-\alpha)^2 \right) \]
である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]} (\beta-\alpha)^3 \]
である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると
\[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3)実数$a,\ b$が不等式
\[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \]
をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{[$25$][$26$]}{[$27$]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[$28$][$29$]}{[$30$]}$である．

曲線$y=\sqrt{x-1}$上（$x>1$）の点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(3,\ -1)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を$m$とする．$m^2$の値を求めよ．

点$\displaystyle \mathrm{P}(\cos^4 \theta,\ -\sin^4 \theta) (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$の軌跡を曲線$C$とし，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$における曲線$C$の接線を直線$L$とする．曲線$C$，直線$L$，$y$軸で囲まれた面積を$S$とする．$128S$の値を求めよ．

曲線$\ell:y=\log x (1 \leqq x \leqq 2)$上の点$(t,\ \log t)$における$\ell$の接線の方程式は
\[ y=\frac{[ハ]}{t}x+\log t-[ヒ] \]
であり，この接線と直線$x=1$，$x=2$および$\ell$で囲まれた図形の面積$S$は，
\[ S=\frac{[フ]}{2t}+\log t-[ヘ] \log 2 \]
である．$\displaystyle t=\frac{[ホ]}{[マ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle 1+\log \frac{[ミ]}{[ム]}$をとる．

関数$f(x)=\sin x$，$g(x)=\cos x+1$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．

(1)曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$によって囲まれる図形$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

座標$(2,\ 0)$の点を$\mathrm{A}$，曲線$y=2x^2-4x+4$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{B}$，原点を$\mathrm{O}$とする．またこの曲線上の$1$点を$\mathrm{P}$としたとき，$\triangle \mathrm{BOP}$と$\triangle \mathrm{POA}$の面積が等しくなる．このとき$\mathrm{P}$の座標をすべて求めなさい．

$a,\ b$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x-a}{b}}+2} \quad (x>0) \]
を考える．

(1)$x>a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=[ア]$であり，$x<a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)曲線$y=f(x)$の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[エオ]}{[カ]b}x+\frac{a+[キ]b}{[ク]b}$である．
(3)$\displaystyle b=\frac{1}{3}$とする．$t=e^{3(x-a)}$とおくと，$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{[ケ]t}$であり，正の定数$c$に対して，
\[ \int_a^{a+c}f(x) \, dx=\frac{1}{[コ]} \log \left( \frac{[サ]e^{3c}}{e^{3c}+[シ]} \right) \]
となる．また，正の定数$p,\ q$が，$\displaystyle \int_{a-q}^{a+p} f(x) \, dx=\frac{4}{3}p$を満たすとき，
\[ q=\frac{1}{[ス]} \log \left( \frac{e^{[セ]p}+[ソ]e^{[タ]p}-1}{[チ]} \right) \]
となる．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．

関数$\displaystyle f(x)=2x-1+2 \cos^2 x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点における接線と曲線$y=f(x)$および$y$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．