サイコロを$2$回続けて振って出た目の数を順に$a,\ b$とする．このとき，$3$次関数$f(x)=x^3-ax+b$について以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が相異なる実数解をちょうど$2$つ持つような$a,\ b$の組を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$の組に対して，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解を持つ確率を求めよ．

座標平面において，不等式$y \geqq x^2$の表す領域を$D$とし，$D$内の点$(a,\ b)$に対して連立不等式
\[ y \geqq x^2,\quad x \geqq a,\quad b \geqq y \]
の表す領域を$E(a,\ b)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)領域$E(a,\ b)$の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)曲線$4y=(x+1)^2$上の点$(2t-1,\ t^2)$が領域$D$内を動くとき，実数$t$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$で求めた範囲の$t$に対して，領域$E(2t-1,\ t^2)$の面積を$f(t)$とするとき，関数$f(t)$を$t$の式で表せ．
(4)$(3)$で定めた関数$f(t)$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において
\[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin x \leqq x \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$で囲まれた図形とする．$D_1$，$D_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において
\[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin x \leqq x \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$で囲まれた図形とする．$D_1$，$D_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なく用いて良い．
(2)異なる自然数$m,\ n$の組で
\[ m^n=n^m \]
を満たすものをすべて求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$と直線$\displaystyle y=\frac{\log 2}{2}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\log t$，$\log 2t$とし，曲線$C$と直線$\ell,\ m$で囲まれた部分の面積を$S$とする．また，$\ell,\ m$の傾きをそれぞれ$\tan \alpha$，$\tan \beta$とする．ただし，$t>0$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\tan \alpha,\ \tan \beta$および$S$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$\beta-\alpha$が最大となるときの$t$の値を求めよ．

$p$を正の実数とする．関数
\[ f(x)=\int_{-1}^x \{p-\log (1+|t|)\} \, dt \]
について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$xy$平面の曲線$y=f(x)$が$x$軸の正の部分と$2$点で交わるような，$p$の値の範囲を求めよ．

$t,\ x$は実数とする．関数$f(t)$を$f(t)=2 |t-1|+t+1$と定義し，$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt$とおく．

(1)関数$y=f(t)$のグラフをかけ．
(2)関数$F(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=F(x)$上の点$(0,\ F(0))$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$y=F(x)$と$(3)$で求めた接線$\ell$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

$a,\ b$は，$0<b<a$を満たす実数とする．曲線$y=e^x$上の点$(0,\ 1)$における接線$\ell_1$の方程式を$y=f(x)$，点$(a,\ e^a)$における接線$\ell_2$の方程式を$y=g(x)$とおく．また，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$p(a)$とする．連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_1$，連立不等式
\[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_2$とし，$R=e^{-b}S_2$とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい．

(1)$p(a)$を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$を求めよ．
(3)$t=a-b$とする．$R$を$t$のみの関数として表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ．
(5)$b=p(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

$a,\ b$は，$0<b<a$を満たす実数とする．曲線$y=e^x$上の点$(0,\ 1)$における接線$\ell_1$の方程式を$y=f(x)$，点$(a,\ e^a)$における接線$\ell_2$の方程式を$y=g(x)$とおく．また，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$p(a)$とする．連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_1$，連立不等式
\[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_2$とし，$R=e^{-b}S_2$とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい．

(1)$p(a)$を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$を求めよ．
(3)$t=a-b$とする．$R$を$t$のみの関数として表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ．
(5)$b=p(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．