「曲線」について
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国立 宮城教育大学 2014年 第2問関数
\[ f(x)=\int_{-a}^x (a-|t|) \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$x \leqq 0$と$x \geqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は負であり，点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線の傾きが$-\sqrt{2}a$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{A}$を通って$x$軸に平行な直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ f(x)=\int_{-a}^x (a-|t|) \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$x \leqq 0$と$x \geqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は負であり，点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線の傾きが$-\sqrt{2}a$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{A}$を通って$x$軸に平行な直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第1問曲線$\displaystyle C_1:y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$上の点$\displaystyle (t,\ \cos t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$における曲線$C_1$の接線を$\ell$とする．また，$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$と接線$\ell$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{x^2}{2}+ax+c$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2014年 第1問$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)$，$g(x)$をそれぞれ
\[ f(x)=ax^2+bx+c,\quad g(x)=f^\prime(x) \]
と定め，放物線$y=f(x)$および直線$y=g(x)$をそれぞれ$C$，$L$とする．$C$の軸は$x=1$であり，$C$と$L$はともに点$(2,\ 2)$を通る．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$C$を$y$軸方向に$d$だけ平行移動させた曲線を$D$とする．$D$は$L$と$2$点で交わり，その$2$点間の距離は$4 \sqrt{5}$である．この$2$点の座標，および$d$の値を求めよ．
(3)$L$と$D$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
\[ f(x)=ax^2+bx+c,\quad g(x)=f^\prime(x) \]
と定め，放物線$y=f(x)$および直線$y=g(x)$をそれぞれ$C$，$L$とする．$C$の軸は$x=1$であり，$C$と$L$はともに点$(2,\ 2)$を通る．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$C$を$y$軸方向に$d$だけ平行移動させた曲線を$D$とする．$D$は$L$と$2$点で交わり，その$2$点間の距離は$4 \sqrt{5}$である．この$2$点の座標，および$d$の値を求めよ．
(3)$L$と$D$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2014年 第2問$a$を定数とし，$e$を自然対数の底とする．曲線$y=xe^{-x^2}$および直線$y=ax$をそれぞれ$C,\ L$とする．$C$と$L$は原点$(0,\ 0)$以外に交点をもつ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．また，$C$と$L$の交点でその$x$座標が正であるものを$a$を用いて表せ．
(2)$x \geqq 0$において$C$と$L$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とするとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle S(a)<\frac{1}{2}$であることを示せ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．また，$C$と$L$の交点でその$x$座標が正であるものを$a$を用いて表せ．
(2)$x \geqq 0$において$C$と$L$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とするとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle S(a)<\frac{1}{2}$であることを示せ．
国立 福井大学 2014年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線が点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right)$を通るような$t$の値を求めよ．
(3)$t$を$(2)$で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線が点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right)$を通るような$t$の値を求めよ．
(3)$t$を$(2)$で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 秋田大学 2014年 第2問$0$以上の整数$n$に対して，
\[ g_n(x)=e^{-n}(x-n)(n+1-x) \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)$n \leqq x \leqq n+1$において，曲線$y=g_n(x)$上の点$(\alpha,\ g_n(\alpha))$における接線の傾きが$-g_n(\alpha)$となる$\alpha$を求めよ．
(2)$f(x)=ce^{-x} (c>0)$とおく．曲線$y=f(x)$が曲線$y=g_n(x)$と共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような$c$を求めよ．
(3)曲線$y=g_n(x)$と$(2)$で求めた曲線$y=f(x)$の共有点を$\mathrm{P}_n$とし，点$\mathrm{P}_n$における$y=f(x)$の接線を$\ell_n$とする．また，$\ell_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}_n$とする．曲線$y=f(x)$と接線$\ell_n$，および点$\mathrm{Q}_n$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (S_0+S_1+\cdots +S_n)$を求めよ．
\[ g_n(x)=e^{-n}(x-n)(n+1-x) \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)$n \leqq x \leqq n+1$において，曲線$y=g_n(x)$上の点$(\alpha,\ g_n(\alpha))$における接線の傾きが$-g_n(\alpha)$となる$\alpha$を求めよ．
(2)$f(x)=ce^{-x} (c>0)$とおく．曲線$y=f(x)$が曲線$y=g_n(x)$と共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような$c$を求めよ．
(3)曲線$y=g_n(x)$と$(2)$で求めた曲線$y=f(x)$の共有点を$\mathrm{P}_n$とし，点$\mathrm{P}_n$における$y=f(x)$の接線を$\ell_n$とする．また，$\ell_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}_n$とする．曲線$y=f(x)$と接線$\ell_n$，および点$\mathrm{Q}_n$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (S_0+S_1+\cdots +S_n)$を求めよ．
国立 福井大学 2014年 第4問$f(x)=3 \sin x$，$g(x)=x(2+\cos x)$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$0<x<\pi$のとき，$0<f(x)<g(x)$が成り立つことを証明せよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と直線$x=\pi$によって囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$0<x<\pi$のとき，$0<f(x)<g(x)$が成り立つことを証明せよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と直線$x=\pi$によって囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第3問関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |x-2t| \sin t \, dt$で定める（$0 \leqq x \leqq \pi$）．次の問に答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．ただし，$a>0$とする．
\[ \int t \sin at \, dt,\quad \int \sin^2 \frac{t}{2} \, dt \]
(2)$f(x)$の最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)-f(0)$と$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)次の不定積分を求めよ．ただし，$a>0$とする．
\[ \int t \sin at \, dt,\quad \int \sin^2 \frac{t}{2} \, dt \]
(2)$f(x)$の最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)-f(0)$と$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 奈良教育大学 2014年 第4問次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=-x^2-2x$と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(2)曲線$y=-x^2-2x$を$y$軸方向に平行移動した曲線を$y=f(x)$とする．その曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積が$8S$となった．曲線$y=f(x)$の方程式を求めよ．
(1)曲線$y=-x^2-2x$と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(2)曲線$y=-x^2-2x$を$y$軸方向に平行移動した曲線を$y=f(x)$とする．その曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積が$8S$となった．曲線$y=f(x)$の方程式を求めよ．
国立 島根大学 2014年 第3問$a_1=2$とし，$f(x)=x^2-3$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a_1,\ f(a_1))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_2$とする．以下同様に，$n=3,\ 4,\ \cdots$に対して，曲線$y=f(x)$上の点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_n$とする．数列$\{a_n\}$に対して，次の問いに答えよ．
(1)$a_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$a_n \geqq \sqrt{3}$を示せ．
(4)$\displaystyle a_n-\sqrt{3} \leqq {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1} (2-\sqrt{3})$を示し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
(1)$a_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$a_n \geqq \sqrt{3}$を示せ．
(4)$\displaystyle a_n-\sqrt{3} \leqq {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1} (2-\sqrt{3})$を示し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．