座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$を考える．$x$軸上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\mathrm{AQ}=\mathrm{QP}$であることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡はどのような曲線を描くか図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}$は$x$軸の閉区間$[0,\ 1]$にあるとする．このとき，直線$\ell$が正方形$\mathrm{ABCO}$を二つの部分に切る．そのうちの点$\mathrm{C}$を含む部分の面積を$S$とする．$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ \sqrt{3})$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$をとる．また，点$(-1,\ 0)$，$(0,\ 0)$，$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$を頂点とする正三角形を$x$軸の正の方向に$t$だけ平行移動して得られる正三角形$\mathrm{PQR}$を考える．ただし，$t$は$0$以上の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，関数$y=f(t)$のグラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(t)$と$t$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

サイコロを$3$回振り，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=3ax^2-2bx+3c \]
と定める．以下の問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が$x=1$を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$(a,\ b,\ c)$の組について考える．このとき，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．また，$S$の最大値を求めよ．

サイコロを$3$回振り，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=3ax^2-2bx+3c \]
と定める．以下の問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が$x=1$を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$(a,\ b,\ c)$の組について考える．このとき，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．また，$S$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で方程式$\cos 2x-\cos x=0$の解を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で$2$つの曲線$y=\cos 2x$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2+3}$を$C$とし，座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問に答えよ．

(1)曲線$C$の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}$の円周上の点とする．点$\mathrm{P}$を点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{\sqrt{17}}{4} \right)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OP}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(4)$\mathrm{Q}$を原点を中心とする半径$2$の円周上の点とする．点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{B}(0,\ 2)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OQ}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{4}{x}$上に$2$点$\mathrm{P}(1,\ 4)$，$\mathrm{Q}(4,\ 1)$をとる．直線$\ell:y=kx (k<0)$に垂直な直線で$\mathrm{P}$を通るものを$\ell_{\mathrm{P}}$とし，$\mathrm{Q}$を通るものを$\ell_{\mathrm{Q}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\ell_{\mathrm{P}}$，$\ell_{\mathrm{Q}}$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_{\mathrm{P}}$と$\ell$の交点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．また，$\ell_{\mathrm{Q}}$と$\ell$の交点$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．
(3)$C,\ \ell,\ \ell_{\mathrm{P}},\ \ell_{\mathrm{Q}}$で囲まれた図形の面積$M$を求めよ．
(4)$k$を動かすとき，$M$の最大値を求めよ．

関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[　]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．

曲線$y=f(x)=x^3-3x^2+x+6$を$C_1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$の接線で点$(-1,\ f(-1))$を通るもののうち，傾きの小さいものを$\ell_1$，傾きの大きいものを$\ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$g(x)$を$x$の$2$次式とし，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．曲線$C_2$が，曲線$C_1$と直線$\ell_1$の共有点および曲線$C_1$と直線$\ell_2$の共有点を通るとき，$g(x)$を求めよ．
(3)曲線$C_2$と直線$\ell_1,\ \ell_2$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$a$は定数で$0 \leqq a \leqq 1$とする．$3$次関数$f(x)=(x+1)x(x-a)$および$g(x)=f(x-1)$を考える．

(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分を$A$とする．$A$の面積$S(a)$および$A$の$x \leqq a$をみたす部分の面積$S_1(a)$を求めよ．
(3)$(2)$の$A$で不等式$x \geqq a$をみたす部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_2(a)$が最大となるときの$a$の値とその最大値を求めよ．