「曲線」について
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国立 鹿児島大学 2014年 第4問$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{4}$とする．曲線$y=\sin 2x$上の点$(a,\ \sin 2a)$における接線$\ell_1$と点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2}-a,\ \sin 2 \left( \frac{\pi}{2}-a \right) \right)$における接線$\ell_2$が直交しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$および曲線$\displaystyle y=\sin 2x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$および曲線$\displaystyle y=\sin 2x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とで囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2014年 第4問次の各問いに答えよ．
(1)$\theta$を媒介変数として，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=1-\cos \theta
\end{array} \right. \]
で表される曲線の$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$に対応する点における接線の方程式を求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=e^{-x}+1$，$y=3(e^{-x}-1)$の交点の座標を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3)$(2)$の$2$曲線と$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(4)$(3)$で与えられた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)$\theta$を媒介変数として，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=1-\cos \theta
\end{array} \right. \]
で表される曲線の$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$に対応する点における接線の方程式を求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=e^{-x}+1$，$y=3(e^{-x}-1)$の交点の座標を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3)$(2)$の$2$曲線と$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(4)$(3)$で与えられた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2014年 第6問$c$と$d$を$0$ではない実数とする．$C$と$D$をそれぞれ$s$と$t$を媒介変数として
\[ C: \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle\frac{c}{s^2+c^2} \\ \\
y=\displaystyle\frac{s}{s^2+c^2}
\end{array} \right. \quad D: \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle\frac{t}{t^2+d^2} \\ \\
y=\displaystyle\frac{d}{t^2+d^2}
\end{array} \right. \]
で与えられる曲線とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$C$と$D$は円から$1$点を除いた曲線になっている．それぞれの円を表す方程式と除かれる点を求めよ．
(2)$C$と$D$の交点の座標を求めよ．
(3)$C$と$D$の交点における$C$の接線の方程式を求めよ．
\[ C: \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle\frac{c}{s^2+c^2} \\ \\
y=\displaystyle\frac{s}{s^2+c^2}
\end{array} \right. \quad D: \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle\frac{t}{t^2+d^2} \\ \\
y=\displaystyle\frac{d}{t^2+d^2}
\end{array} \right. \]
で与えられる曲線とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$C$と$D$は円から$1$点を除いた曲線になっている．それぞれの円を表す方程式と除かれる点を求めよ．
(2)$C$と$D$の交点の座標を求めよ．
(3)$C$と$D$の交点における$C$の接線の方程式を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2014年 第3問$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{e^x},\ g(x)=\frac{\cos x}{e^x}$とする．
(1)関数$f(x)$の第$4$次までの導関数を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の概形をかけ．
(3)$x \geqq 0$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とするとき，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(4)$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$a_n$とする．$a_n \leqq x \leqq a_{n+1}$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．
(1)関数$f(x)$の第$4$次までの導関数を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の概形をかけ．
(3)$x \geqq 0$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とするとき，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(4)$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$a_n$とする．$a_n \leqq x \leqq a_{n+1}$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2014年 第3問$xy$平面内の直線$L$を$x-ay+a^2-1=0$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．
(1)直線$L$と$x$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)直線$L$は$a$が$0$でないとき$y$軸と交わる．このときの$y$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)直線$L$上の点$(x,\ y)$がとりえる範囲を，$x$と$y$に関する不等式で表せ．
(4)$(3)$で求めた範囲の境界を曲線$C$とする．直線$L$と曲線$C$が接することを示し，接点の座標を$a$を用いて表せ．
(5)$a>0$のとき，直線$L$と$(4)$の曲線$C$および$x$軸で囲まれ，かつ$x \geqq 0$の部分の面積を$a$を用いて表せ．
(1)直線$L$と$x$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)直線$L$は$a$が$0$でないとき$y$軸と交わる．このときの$y$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)直線$L$上の点$(x,\ y)$がとりえる範囲を，$x$と$y$に関する不等式で表せ．
(4)$(3)$で求めた範囲の境界を曲線$C$とする．直線$L$と曲線$C$が接することを示し，接点の座標を$a$を用いて表せ．
(5)$a>0$のとき，直線$L$と$(4)$の曲線$C$および$x$軸で囲まれ，かつ$x \geqq 0$の部分の面積を$a$を用いて表せ．
国立 三重大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数である．
(1)$2$曲線$y=(x+1)(x-3)$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(2)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(3)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(1)$2$曲線$y=(x+1)(x-3)$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(2)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(3)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
国立 三重大学 2014年 第4問傾き正の直線$\ell$が，$2$曲線
\[ C:y=-x^2+6x,\quad C^\prime:y=3x^2-14x+28 \]
の両方に接している．以下の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C$および$x$軸の$3$つで囲まれる図形の面積を求めよ．
\[ C:y=-x^2+6x,\quad C^\prime:y=3x^2-14x+28 \]
の両方に接している．以下の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C$および$x$軸の$3$つで囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数である．
(1)$2$曲線$y=(x+1)(x-3)$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(2)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(3)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(1)$2$曲線$y=(x+1)(x-3)$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(2)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(3)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
国立 三重大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数である．
(1)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(2)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+3$の共有点の個数を調べよ．
(1)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(2)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+3$の共有点の個数を調べよ．
国立 三重大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数である．
(1)$2$曲線$y=(x+1)(x-3)$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(2)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(3)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(1)$2$曲線$y=(x+1)(x-3)$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(2)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(3)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．