放物線$y=x^2$上の動点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$が次の条件をみたしている．
\[ 0<p<q,\quad \angle \mathrm{POQ}=\frac{\pi}{4} \]
ただし$\mathrm{O}$は原点である．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$における接線の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$q$を$p$の式で表せ．
(3)点$\mathrm{R}$の$x$座標，$y$座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$が描く曲線の方程式を求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$が描く曲線の漸近線を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数，$e$は自然対数の底とする．

(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=|f(x)|$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{1}{e}$，$x=e$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

座標平面上に$2$つの曲線$C_1:y=-x^2+12$，$C_2:y=x^2-10x+29$がある．曲線$C_1$上を動く点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とし，曲線$C_1$の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた三角形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．また，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(4)接線$\ell$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，それらの中点の軌跡を求めよ．

関数$f(x)=\log (1+x^2)$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 \log (1+x^2) \, dx$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$の増減を調べ，$y=f^\prime(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$C:y=f(x)$と曲線$C$の互いに直交している$2$本の接線とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

$\displaystyle 0<a \leqq \frac{\pi}{2}$とし，曲線$y=1-\cos x (0 \leqq x \leqq a)$を$C$とする．$0<t<a$とし，原点と$C$上の点$(t,\ 1-\cos t)$を通る直線を$\ell$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を$S_1(t)$，$t \leqq x \leqq a$の範囲で$C$と$\ell$と直線$x=a$とで囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とおくとき，$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．
(2)$S_1(t)+S_2(t)$を最小とする$t$の値を$t_0$とするとき，$t_0$を$a$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle a-\frac{a^3}{3!}<\sin a<a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!} (a>0)$は用いてよい．

$a$を正の定数とし，曲線$\displaystyle y=\frac{\log x}{a}$を$C$とする．次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(1)点$\displaystyle \left( 0,\ 1-\frac{1}{a} \right)$から曲線$C$に引いた接線の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた接線と曲線$C$と$x$軸によって囲まれた部分のうち第$1$象限の部分の面積を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$が曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2e}$と共有点をもち，その点における$2$つの曲線の接線が一致しているとき，曲線$C$と曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2e}$と$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を$\displaystyle \frac{\pi}{2}<a<\pi$を満たす定数とする．$2$つの曲線
\[ y=\sin x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq a \right),\quad y=\cos x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と$2$つの直線$x=a$，$y=0$で囲まれる図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$D$の面積$S$を求めよ．
(2)$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$xy$平面上に$x=2 \cos 2\theta$，$y=2 \cos 3\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$と媒介変数表示された曲線$C$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$t=\cos \theta$とおいて，$x$と$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$において，$y$を$x$の式で表せ．また，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$において，$y$を$x$の式で表せ．
(3)曲線$C$の概形を描け．

$xy$平面上に$x=2 \cos 2\theta$，$y=2 \cos 3\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$と媒介変数表示された曲線$C$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$において，$y$を$x$の式で表せ．また，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$において，$y$を$x$の式で表せ．
(2)曲線$C$の概形を描け．
(3)曲線$C$が囲む領域の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$上の点$\displaystyle (t,\ \cos t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$における曲線$C_1$の接線を$\ell$とする．また，$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$と接線$\ell$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{x^2}{2}+ax+c$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．