関数$y=x^2 e^{-x}$のグラフを曲線$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$をかけ．ただし，$x \leqq 2$の範囲でよい．
(2)曲線$C$が直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$に接していることを示し，その接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^n$（$n$は$2$以上の偶数）上に点$\mathrm{A}(-a,\ a^n) (a>0)$と点$\mathrm{B}(b,\ b^n) (b>0)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$とする．また，線分$\mathrm{AB}$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$S_1$を求めよ．
(2)$S_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle S_2 \geqq \frac{2n}{n+1}S_1$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$と$b$は正の実数）の$x>0$の部分を$H$とする．このとき，点$(-a,\ 0)$を通る傾き$t$の直線と$H$との交点を考えることにより，$H$上の点$(x,\ y)$の$x$と$y$をそれぞれ$t$の分数式で表せ．
(2)$(1)$のやり方を用いて，$y=\sqrt{x^2-1} (x>1)$で表される曲線を媒介変数$t$の分数式で表示せよ．
(3)$(2)$の結果を用いて不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, dx$を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2}{3} \pi$の範囲で，曲線$y=\cos x$と曲線$y=\cos 2x$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$f(x)=|2x+3|$のとき$f(-3)+f(0)+f(3)$の値を求めよ．
(2)方程式$\log_2 (x-1)+\log_2 (x+2)=2$を解け．
(3)$\left\{ \begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right.$のとき$\sin (x+y)$の値を求めよ．
(4)$a,\ b,\ x$を実数とする．命題
\[ x^2-(a+b)x+ab \leqq 0 \Longrightarrow x^2<2x+3 \]
が真となるような定数$a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．ただし，$a \leqq b$とする．
(5)$a$を定数とし，関数$y=f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h} \]
を$f^\prime(a)$を用いて表せ．
(6)関数$f(x)=\log | \cos x |$の導関数を求めよ．
(7)$2$つの曲線$y=\log x$と$y=ax^2$とがただ$1$つの共有点をもつような正の定数$a$の値を求めよ．
(8)等式$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x^2+a}-x-1}{(x-1)^2}=b$が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$t=2^x$とおくとき，$A=-8^x+4^x+2^{x+2}-4$を$t$を用いて表せ．また，
\[ t^B=\frac{8^x-4^x-2^{x+2}+4}{(4^x-4)(8^x-4^x)} \]
をみたす定数$B$の値を求めよ．
(2)正の定数$k$に対して，$C=k^2(-8^x+4^x+2^{x+2}-4)+(4^x-4)(8^x-4^x)$とおく．$C$を$t$と$k$を用いて表せ．ただし，答は因数分解せよ．
(3)曲線$y=k^2(-8^x+4^x+2^{x+2}-4)+(4^x-4)(8^x-4^x)$と$x$軸との交点と接点の数がそれぞれ$1$個であるような$k$の値をすべて求めよ．
(4)$k>2$とする．曲線$y=k^2(-8^x+4^x+2^{x+2}-4)+(4^x-4)(8^x-4^x)$が$x$軸と異なる$3$点$(p,\ 0)$，$(q,\ 0)$，$(r,\ 0)$で交わるとき，$(p-q)(q-r)(r-p)=20$をみたす$k$の値を求めよ．ただし，$p<q<r$とする．

関数$\displaystyle f(x)=(x-1)^2 \sqrt{2x+1} \left( x \geqq -\frac{1}{2} \right)$を考える．

(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a>0$，$\displaystyle b>\frac{1}{2}$とする．$xy$平面上に，

曲線$C_1$：$y=\log x (x>0)$，曲線$C_2$：$y=ax^2-b (x>0)$

がある．$C_1$と$C_2$は点$\mathrm{P}$で接している．$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$の関数と考えて$x(b)$とする．$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$b$の関数と考えて$S(b)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(b)$を$b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S \left( \frac{3}{2} \right)$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{b \to \infty} S(b)=1$となることを示せ．

$f(x)=(x^2-2x)e^x (-2 \leqq x \leqq 2)$とする．

(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．

\mon[$①$] $\displaystyle \int t \sin t \, dt$
\mon[$②$] $\displaystyle \int t^2 \cos t \, dt$

座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とし半径$1$の円$C$上の$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{P}(x_p,\ y_p)$に対して，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に点$\mathrm{Q}(x_q,\ y_q)$を次の条件をみたすようにとる．
\begin{itemize}
$y_q \leqq y_p$
線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$C$上の弧$\mathrm{OP}$（ただし弧全体が$x \geqq 0$に存在する方）の長さに等しい
$\mathrm{P}$の座標が$(0,\ 2)$のときは$x_q=\pi$となるように$\mathrm{Q}$をとる
$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と一致する場合は$\mathrm{Q}$も$\mathrm{O}$とし，$\theta=0$とする
\end{itemize}
(2)$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$y_q$の最大値と最小値を求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の描く曲線と$y$軸および直線$y=2$で囲まれる部分の面積を求めよ．