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私立 東京理科大学 2015年 第2問$a>0$を定数とし，座標平面上の点$\mathrm{P}(p,\ 0)$から放物線$C:y=ax^2+2a$に$2$本の接線$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$を引く．ここで$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$は接点で，$\mathrm{Q}_1$の$x$座標$q_1$は$\mathrm{Q}_2$の$x$座標$q_2$より小さいとする．
(1)$q_1$と$q_2$を，$p$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の方程式を，$a$と$p$を用いて表せ．
(3)$S_1$を直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$と曲線$C$で囲まれた部分の面積，$S_2$を曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$で囲まれた部分の面積とする．$S_1$と$S_2$を，$a$と$p$を用いて表し，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{PQ}_1 \perp \mathrm{PQ}_2$となるとき，$a$の値を求めよ．
(1)$q_1$と$q_2$を，$p$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の方程式を，$a$と$p$を用いて表せ．
(3)$S_1$を直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$と曲線$C$で囲まれた部分の面積，$S_2$を曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$で囲まれた部分の面積とする．$S_1$と$S_2$を，$a$と$p$を用いて表し，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{PQ}_1 \perp \mathrm{PQ}_2$となるとき，$a$の値を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第3問不等式$\displaystyle \frac{x}{x-1} \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を定義域とする関数
\[ f(x)=3x \sqrt{\frac{x}{x-1}} \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$\displaystyle a_1=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$\displaystyle a_2=\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$とする．$a_1$，$a_2$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a_1,\ a_2$に対して，$\displaystyle b_1=\lim_{x \to \infty}(f(x)-a_1x)$，$\displaystyle b_2=\lim_{x \to -\infty}(f(x)-a_2x)$とする．$b_1$，$b_2$の値を求めよ．
(4)関数$f(x)$の極小値を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$の漸近線の方程式を求めよ．
(6)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
\[ f(x)=3x \sqrt{\frac{x}{x-1}} \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$\displaystyle a_1=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$\displaystyle a_2=\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$とする．$a_1$，$a_2$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a_1,\ a_2$に対して，$\displaystyle b_1=\lim_{x \to \infty}(f(x)-a_1x)$，$\displaystyle b_2=\lim_{x \to -\infty}(f(x)-a_2x)$とする．$b_1$，$b_2$の値を求めよ．
(4)関数$f(x)$の極小値を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$の漸近線の方程式を求めよ．
(6)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
私立 早稲田大学 2015年 第4問座標平面の第$1$象限に曲線$\displaystyle C_0:y=\frac{1}{x}+x (x>0)$と曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$がある．$C_0$上の点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a}+a \right)$における$C_0$の接線を$\ell$とする．このとき，$\ell$は曲線$C$と$2$点で交わっているとする．
(1)このように，接線$\ell$と曲線$C$が$2$点で交わる$a$の範囲を求めよ．
(2)接線$\ell$と曲線$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)上の$(2)$で求めた面積を$S(a)$とするとき，
\[ \frac{a^3}{1-a^2}<S(a)<\frac{2a}{1-a^2} \]
が成り立つことを示せ．
(1)このように，接線$\ell$と曲線$C$が$2$点で交わる$a$の範囲を求めよ．
(2)接線$\ell$と曲線$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)上の$(2)$で求めた面積を$S(a)$とするとき，
\[ \frac{a^3}{1-a^2}<S(a)<\frac{2a}{1-a^2} \]
が成り立つことを示せ．
私立 東京理科大学 2015年 第1問$[ ]$内に$0$から$9$までの数字を$1$つずつ入れよ．
(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．
(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．
ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．
(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．
(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．
(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．
(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．
ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．
(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．
(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．
私立 早稲田大学 2015年 第5問曲線$C:y=x^3$上に，次のようにして点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$をとる．
(i) $\mathrm{P}_1$は$C$上の与えられた点とする．
(ii) $\mathrm{P}_n$を通り，$\mathrm{P}_n$とは異なる点で$C$と接する直線が$1$つだけ存在するとき，その直線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$C$との接点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．もしこのような直線$\ell_n$が存在しない場合には$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$と同一の点とする．
点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)直線$\ell_n$が存在する場合$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ト]}{[ナ]}x_n$である．
(2)$\mathrm{P}_1$を原点とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=[ニ]$である．
(3)$\mathrm{P}_1$を点$(2,\ 8)$とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=[ヌ]$である．
(i) $\mathrm{P}_1$は$C$上の与えられた点とする．
(ii) $\mathrm{P}_n$を通り，$\mathrm{P}_n$とは異なる点で$C$と接する直線が$1$つだけ存在するとき，その直線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$C$との接点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．もしこのような直線$\ell_n$が存在しない場合には$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$と同一の点とする．
点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)直線$\ell_n$が存在する場合$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ト]}{[ナ]}x_n$である．
(2)$\mathrm{P}_1$を原点とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=[ニ]$である．
(3)$\mathrm{P}_1$を点$(2,\ 8)$とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=[ヌ]$である．
私立 立教大学 2015年 第3問座標平面上の曲線$C:y=x^3+x^2+ax$は，直線$\ell_1:y=-x$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$で接している．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)直線$\ell_1$と$C$の共有点で$\mathrm{O}$以外の点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$を通る$C$の接線$\ell_2$と$C$の共有点で点$\mathrm{P}$以外の点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)点$\mathrm{Q}$を通る$C$の接線$\ell_3$と$C$の共有点で点$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)直線$\ell_1$と$C$の共有点で$\mathrm{O}$以外の点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$を通る$C$の接線$\ell_2$と$C$の共有点で点$\mathrm{P}$以外の点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)点$\mathrm{Q}$を通る$C$の接線$\ell_3$と$C$の共有点で点$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第1問次の$[ ]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+\frac{1}{4}$，$\displaystyle g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+\frac{1}{4}$で定められる関数に対して，
$f(x)$は$\displaystyle x=-\frac{[ア]}{[イ]}+\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}-\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{3}$をとり，
$g(x)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}-\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}-\frac{[テ]}{[ト]} \sqrt{3}$をとる．
(2)$a$を正の実数とし，座標平面上の$2$曲線$\displaystyle B_1:y={\left( \frac{a}{\pi} x \right)}^2$と$B_2:y=\sin x$の$0<x<\pi$における交点の$x$座標を$t$，$0 \leqq x \leqq t$において$2$曲線で囲まれた領域の面積を$S$とすると，
\[ S=[ナ]-\frac{[ニ]}{[ヌ]}t \sin t-[ネ] \cos t \]
である．
$a=2$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]} \pi$である．
$0<a \leqq 2$に対して$S$がとり得る値の範囲は
\[ [ヒ]-\frac{[フ]}{[ヘ]} \pi \leqq S<[ホ] \]
である．
(3)空調のある$1$号室，$2$号室，$3$号室は電力事情により，同時に$1$部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は$1$号室の電源をオンにすることにし，それ以降は$1$時間ごとに大小の$2$つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．
\begin{itemize}
大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．
大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの$2$つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さい方のさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．
\end{itemize}
自然数$n$に対して，$1$号室の電源を最初にオンにした時から$n$時間後に，$1$号室の空調の電源をオンにする確率を$a_n$，$2$号室の空調の電源をオンにする確率を$b_n$，$3$号室の空調の電源をオンにする確率を$c_n$とする．
(i) $\displaystyle a_1=\frac{[マ]}{[ミ]}$，$\displaystyle b_1=\frac{[ム]}{[メ]}$，$\displaystyle c_1=\frac{[モ]}{[ヤ]}$である．
すべての自然数$n$に対して以下が成り立つ．
(ii) $a_n+b_n+c_n=[ユ]$
(iii) $\displaystyle a_{n+1}=\frac{[ヨ]}{[ラ]}a_n+\frac{[リ]}{[ル]}b_n+\frac{[リ]}{[ル]}c_n$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle a_n=\frac{[レ]}{[ロ]} {\left( \frac{[ワ]}{[ヲ]} \right)}^n+\frac{[ン]}{[あ]}$
$\displaystyle b_n=-\frac{[い]}{[う]} {\left( \frac{[え]}{[お]} \right)}^n+\frac{[か]}{[き]}$
$\displaystyle c_n=-\frac{[く]}{[け]} {\left( \frac{[こ]}{[さ]} \right)}^n+\frac{[し]}{[す]}$
(1)$\displaystyle f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+\frac{1}{4}$，$\displaystyle g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+\frac{1}{4}$で定められる関数に対して，
$f(x)$は$\displaystyle x=-\frac{[ア]}{[イ]}+\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}-\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{3}$をとり，
$g(x)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}-\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}-\frac{[テ]}{[ト]} \sqrt{3}$をとる．
(2)$a$を正の実数とし，座標平面上の$2$曲線$\displaystyle B_1:y={\left( \frac{a}{\pi} x \right)}^2$と$B_2:y=\sin x$の$0<x<\pi$における交点の$x$座標を$t$，$0 \leqq x \leqq t$において$2$曲線で囲まれた領域の面積を$S$とすると，
\[ S=[ナ]-\frac{[ニ]}{[ヌ]}t \sin t-[ネ] \cos t \]
である．
$a=2$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]} \pi$である．
$0<a \leqq 2$に対して$S$がとり得る値の範囲は
\[ [ヒ]-\frac{[フ]}{[ヘ]} \pi \leqq S<[ホ] \]
である．
(3)空調のある$1$号室，$2$号室，$3$号室は電力事情により，同時に$1$部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は$1$号室の電源をオンにすることにし，それ以降は$1$時間ごとに大小の$2$つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．
\begin{itemize}
大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．
大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの$2$つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さい方のさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．
\end{itemize}
自然数$n$に対して，$1$号室の電源を最初にオンにした時から$n$時間後に，$1$号室の空調の電源をオンにする確率を$a_n$，$2$号室の空調の電源をオンにする確率を$b_n$，$3$号室の空調の電源をオンにする確率を$c_n$とする．
(i) $\displaystyle a_1=\frac{[マ]}{[ミ]}$，$\displaystyle b_1=\frac{[ム]}{[メ]}$，$\displaystyle c_1=\frac{[モ]}{[ヤ]}$である．
すべての自然数$n$に対して以下が成り立つ．
(ii) $a_n+b_n+c_n=[ユ]$
(iii) $\displaystyle a_{n+1}=\frac{[ヨ]}{[ラ]}a_n+\frac{[リ]}{[ル]}b_n+\frac{[リ]}{[ル]}c_n$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle a_n=\frac{[レ]}{[ロ]} {\left( \frac{[ワ]}{[ヲ]} \right)}^n+\frac{[ン]}{[あ]}$
$\displaystyle b_n=-\frac{[い]}{[う]} {\left( \frac{[え]}{[お]} \right)}^n+\frac{[か]}{[き]}$
$\displaystyle c_n=-\frac{[く]}{[け]} {\left( \frac{[こ]}{[さ]} \right)}^n+\frac{[し]}{[す]}$
私立 中央大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$の値を求めよ．ただし，分母は有理化して答えよ．
(2)初項から第$3$項までの和が$-63$，初項から第$6$項までの和が$-4095$である等比数列の初項と公比を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を$1$回ずつ使って$5$桁の数を作る．このとき，$31402$は小さい方から数えて何番目の数か．
(4)次の方程式を解け．
\[ 2 \log_2 x=\log_2 (x+4)+1 \]
(5)直線$y=3x+a$は曲線$y=x^3$に点$\mathrm{A}$で接する．ただし，$a>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線と曲線の接点以外の共有点を$\mathrm{B}$とするとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(6)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 |x-1| \, dx$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$の値を求めよ．ただし，分母は有理化して答えよ．
(2)初項から第$3$項までの和が$-63$，初項から第$6$項までの和が$-4095$である等比数列の初項と公比を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を$1$回ずつ使って$5$桁の数を作る．このとき，$31402$は小さい方から数えて何番目の数か．
(4)次の方程式を解け．
\[ 2 \log_2 x=\log_2 (x+4)+1 \]
(5)直線$y=3x+a$は曲線$y=x^3$に点$\mathrm{A}$で接する．ただし，$a>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線と曲線の接点以外の共有点を$\mathrm{B}$とするとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(6)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 |x-1| \, dx$の値を求めよ．
私立 福岡大学 2015年 第3問曲線$y=e^{-x^2}$上の$3$点$\mathrm{P}(0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(t,\ e^{-t^2})$，$\mathrm{R}(-t,\ e^{-t^2})$を通る円を$C$とする．円$C$の半径$r$を$t$の関数とみて$r(t)$と表すと，$r(t)=[ ]$である．また，極限$\displaystyle \lim_{t \to 0} r(t)$の値は$[ ]$である．ただし，$e$は自然対数の底とする．
私立 福岡大学 2015年 第10問関数$\displaystyle f(x)=\log (1+\sqrt{2+x})-\frac{1}{2} \sqrt{2+x}$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$および直線$\displaystyle y=\frac{\log 3-1}{4}x+\frac{\log 3-1}{2}$とで囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$および直線$\displaystyle y=\frac{\log 3-1}{4}x+\frac{\log 3-1}{2}$とで囲まれる部分の面積を求めよ．