$k$を定数とする．$2$つの曲線$C_1$，$C_2$を，
\[ C_1:y=3x^2-6x+k,\quad C_2:y=x^2 \]
と定義する．曲線$C_1$，$C_2$はただひとつの共有点$\mathrm{A}$をもつ．

(1)$k$の値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(2)点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$をひき，直線$\ell$と曲線$C_1$との交点を$\mathrm{B}$，直線$\ell$と曲線$C_2$との交点を$\mathrm{C}$とする．ただし，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はいずれも点$\mathrm{A}$とは異なる点である．点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$とすると，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$[テ]p+[ト]$であり，直線$\ell$および曲線$C_1$，$C_2$で囲まれる部分の面積は
\[ [ナ] {|\frac{[ニ]|{[ヌ]}-p}}^3 \]
となる．

$a>0$とする．$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-\sqrt{2}a,\ 0)$，$\mathrm{B}(\sqrt{2}a,\ 0)$を固定する．動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は条件$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}=4a$をみたすものとする．次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ．ただし，答のみでよい．
(2)$(1)$の曲線の$-\sqrt{2}a \leqq x \leqq \sqrt{2}a$の部分と，直線$x=-\sqrt{2}a$，直線$x=\sqrt{2}a$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．この立体の体積$V$を求めよ．
(3)$(2)$の立体の表面積$S$を求めよ．ここで，$y=f(x)$のグラフの$p \leqq x \leqq q$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる曲面の面積は
\[ 2\pi \int_p^q \sqrt{\{f(x)\}^2+\{f(x)f^\prime(x)\}^2} \, dx \]
として計算してよい．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

$p,\ q$を正の実数として，曲線$C$を$\displaystyle x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}}=1 (0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$により定義する．

(1)曲線$C$の方程式を$y$について解いて得られる関数を$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 1)$とおく．$y=f(x)$のグラフが$0<x<1$において変曲点をもつためには$p,\ q$が条件$[あ]$を満たすことが必要十分である．
(2)曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(p,\ q)$とすると，$S(1,\ q)=[い]$であり，$p>1$ならば$S(p,\ q)$と$S(p-1,\ q+1)$の間には$S(p,\ q)=[う]S(p-1,\ q+1)$の関係がある．$p,\ q$がともに自然数であるときに$S(p,\ q)$を$p,\ q$の式で表すと$S(p,\ q)=[え]$である．
(3)$p=q=3$のとき，直線$\ell:x+y=\alpha$が曲線$C$と$2$点を共有するための必要十分条件は$[お]<\alpha \leqq 1$である．この条件が成り立つとき，直線$\ell$と曲線$C$の交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_1,\ x_2$とすると$\displaystyle x_1^{\frac{1}{3}}x_2^{\frac{1}{3}}=[か]$かつ$\displaystyle \left( x_1^{\frac{1}{3}}-x_2^{\frac{1}{3}} \right)^2=[き]$である．さらに$\alpha_0=[お]$とおくとき$\displaystyle \lim_{\alpha \to \alpha_0+0} \frac{\mathrm{PQ}^2}{\alpha-\alpha_0}=[く]$が成り立つ．

曲線$C_1:y=x^3$を考える．点$\mathrm{A}(-1,\ -1)$における$C_1$の接線$\ell$は，$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{B}$で$C_1$と交わっている．このとき，以下の設問に答えよ．ただし
\[ \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+L \quad (L \text{は積分定数}) \]
である．

(1)点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)実数の定数$a,\ b,\ c$に対し，曲線$C_2:y=ax^2+bx+c$を考える．$C_2$が点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通り，さらに$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$との間の点$\mathrm{E}$（$\mathrm{E} \neq \mathrm{A},\ \mathrm{E} \neq \mathrm{B}$）で$C_1$と交わるとき，$c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(3)$C_2$および$\mathrm{E}$は前問と同様とし，$c$は前問の必要十分条件を満たしている．「$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_1$，「$\mathrm{E}$，$\mathrm{B}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$c$の値を求めよ．

$f(x)=x^3-3x^2-x+3$とし，座標平面上の曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell$とする．ただし，$p \neq 3$とする．放物線$C:y=ax^2+bx+c$は点$(3,\ 0)$を通り，直線$\ell$と$\mathrm{P}$で接する．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$p$の式で表すと，
\[ a=[セ]p,\ b=[ソ]p^2+[タ]p+[チ],\ c=[ツ]p^2+[テ] \]
である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}<p<3$とする．$C$およびその下側の部分で，$C$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$および$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_1$とおき，$C$およびその上側の部分で，$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．このとき，
\[ S_1-S_2=\frac{25}{24}\left( [ト]p^2+[ナ]p+[ニ] \right) \]
であり，$S_1=S_2$となる$p$の値は
\[ p=\frac{[ヌ]}{[ネ]}+\frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \]
である．
(3)$p=1$のとき，
\[ S_1+S_2=\frac{[ヒ]}{[フ]} \]
である．

$x$を$2$より小さい実数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{4x-7}{x-2} \quad (x<2) \]
と定め，座標平面上で曲線$y=f(x)$を考える．

(1)曲線$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描け．
(2)点$\displaystyle \left( \frac{5}{4},\ f \left( \frac{5}{4} \right) \right)$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)直線$5x-2y=a$が曲線$y=f(x)$の法線となるときの実数$a$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$p$を正の定数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=-5x^p \log x \quad (x>0) \]
と定める．$a$は$f^\prime(a)=0$を満たす正の実数とする．ここで，$\log x$は自然対数であり，$e$は自然対数の底を表す．また，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数である．

(1)$a$の値を$p$を用いて表せ．
(2)不定積分$\int f(x) \, dx$を求め$p$を用いて表せ．
(3)直線$x=a$と$x$軸，および曲線$y=f(x)$の$a \leqq x \leqq 1$の部分で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，
\[ \lim_{p \to +0}S \]
の値を求めよ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{u \to +0} \frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u}=0$であることを用いてよい．

$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数
\[ F(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
は$x=\alpha$で極大になり，$x=\beta$で極小になるとする．曲線$y=F(x)$上の点$\mathrm{B}(\beta,\ F(\beta))$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=F(x)$の共有点のうち$\mathrm{B}$と異なるものを$(\gamma,\ F(\gamma))$とする．

(1)$x$の整式$F(x)-F(\beta)$を，$\beta,\ \gamma$を用いて$1$次式の積に因数分解された形で表せ．
(2)$\gamma$を$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)$，$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式
\[ \{p(x)q(x)\}^\prime=p^\prime(x)q(x)+p(x)q^\prime(x) \]
を用いてもよい．
(3)$f(x)=F^\prime(x)$とする．直線$x=\gamma$，$x$軸，および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形のうち$y \geqq 0$となる部分の面積$S$を，$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．さらに，$\displaystyle a-b \geqq \frac{3}{2}$が成り立つとき，$S$の最小値を求めよ．

$a$は$0$以上の実数とする．放物線$y=x^2+a^2$を$C_a$とし，$y$軸と平行な直線$x=1$を$M$とする．$C_a$と$M$の交点における$C_a$の接線を$L_a$とする．$a>0$のとき，$C_0$と$L_a$で囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S_a$とおく．

(1)\quad
(i) $\displaystyle S_a=\frac{[ア]}{[イ]}a^{\mkakko{ウ}}$である．
(ii) $L_3$と平行であり，かつ$C_0$と異なる$2$点で交わる直線$L$に対して，$L$と$C_0$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S$とおく．$\displaystyle S=\frac{1}{8}S_3$となるのは，$L$の$y$切片が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$のときである．

(2)$2$つの曲線$C_0$と$C_3$，および$2$直線$L_3$，$L_5$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積は$\displaystyle \frac{[カ][キ]}{[ク]}$である．

正の定数$a (a \neq 1)$に対して，$2$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax(1-x) \]
と定める．曲線$C:y=f(x)$の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell_1$，直線$y=-x$を$\ell_2$とする．曲線$C$の$x \leqq 1$の部分と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S$で表し，また，この部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$V$で表す．

(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定数$a$は$a>1$を満たすものとする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき，
\[ \frac{30a^3}{(a-1)^4 \pi}(V-U) \]
を$a$の$1$次式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{a \to 1+0}(a-1)^2V$の値を求めよ．