次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

$3$次関数$y=f(x)=x^2(x-3)$で与えられる曲線を$C$とする．

(1)関数$y=f(x)$は，$x=[ア]$のとき極大値$[イ]$をとる．また，$x=[ウ]$のとき極小値$[エ]$をとる．
(2)点$(1,\ -2)$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式は$y=[オ]$である．
(3)$(1)$の$[ア]$から$[エ]$で表される$2$点$([ア],\ [イ])$，$([ウ],\ [エ])$が$2$次関数$y=x^2+px+q$で与えられる放物線$C^\prime$上にあるとき，$p=[カ]$，$q=[キ]$である．
(4)$(2)$で求めた接線$\ell$と$(3)$で求めた放物線$C^\prime$で囲まれた部分の面積は$[ク]$である．

$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$，半径$r (0<r<p)$の円$C_1$が，放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で，直線$\ell:y=q (q>p)$と$1$点で接している（直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする）．ここで$2$つの曲線が接するとは，交点における接線が一致することを意味する．このとき
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり，$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である．このとき，放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である．

\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のように放物線
\[ C:y=\frac{1}{2}x^2+ax+b \]
（$a,\ b$は定数）が$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-4x+5 \]
に接している．

ここで，$2$つの曲線が交点$\mathrm{P}$で接するとは，$\mathrm{P}$における接線が一致することを意味し，このとき，$\mathrm{P}$を接点という．
このとき，$C$と$C_1$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$][$46$]}$，$C$と$C_2$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$である．また，$3$つの放物線に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$51$][$52$]}{[$53$][$54$]}$である．

\end{mawarikomi}

次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

$xy$平面上のいくつかの曲線および直線について考える．

(1)曲線$C_1:y=x(x-2)$と$x$軸によって囲まれた領域の面積を$S$とすれば$\displaystyle S=\frac{[ア]}{[イ]}$である．
原点を通る直線$\ell:y=kx$と$C_1$は，これらが接する場合を除き$x=0$および$x=[ウ]+[エ]k$で交わる．
また，$\ell$が$S$を等分するとき，$\displaystyle k=[オ]+\left( [カ] \right)^{1/ \mkakko{キ}}$である．
(2)曲線$C_2:y=x |x-2|$と，直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ク]$であり，$C_2$と$\ell$は$x=[ケ]$で再び交わる．このとき，$C_2$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$[コ]$である．
(3)曲線$C_3:y=x(x-2)^2$と$x$軸によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
$C_3$と直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ス]$であり，$C_3$と$\ell$は$x=[セ]$で再び交わる．このとき，$C_3$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]}$である．
$C_3$は$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$で極大値をとるから，曲線$C_3$と，直線$L:y=a$が異なる$3$つの共有点をもつような$a$の範囲は，$\displaystyle 0<a<\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}-2 |x-1|+2$について，次の各問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$-4 \leqq x \leqq 2$のときの$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた$3$つの部分の面積の和を求めよ．

曲線$C_1:y=x(x-a)(x-a-1)$と曲線$C_2:y=x(x-a)$について考える．$C_1$と$C_2$で囲まれたすべての図形の面積を$S_1$とし，$0 \leqq x \leqq a$で$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=2$となるとき，$a$の値を求めよ．ただし，$a$は正の実数とする．

曲線$\displaystyle y=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{4x} (1 \leqq x \leqq 2)$の長さを$L$とする．$\displaystyle \frac{72}{59}L$の値を求めよ．

$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1:y=e^x-2$
$C_2:y=\log x$

について以下の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．

(1)$s$を実数，$t$を正の数とする．$C_1$上の点$(s,\ e^s-2)$における$C_1$の接線の方程式，および$C_2$上の点$(t,\ \log t)$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は$2$本存在する．それぞれの直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の$2$直線それぞれの$C_2$との接点の座標を求めよ．
(4)$(2)$の$2$直線の交点の$x$座標を求めよ．
(5)$C_2$と$(2)$の$2$直線で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について，$a_{27}=20$，$a_{37}=15$が成り立っている．このとき，$a_1=[ア]$であり，$d=[イ]$である．したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる．
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積は$[エ]$であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である．
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり，法線$m$の方程式は$[ク]$である．また，$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると，$X$の範囲は$[ケ]$であり，$Y$の範囲は$[コ]$である．

座標平面上で，曲線$y=ax^2+bx+2$を$C$とおく．また，直線$y=ax+b+2$を$\ell$とおく．ただし，$a,\ b$は定数とし，$a>0$とする．以下の問に答えなさい．

(1)曲線$C$と直線$\ell$がただ$1$つの共有点を持つための必要十分条件となる$a,\ b$の式を求めなさい．また，その共有点の座標を求めなさい．
(2)いま，曲線$C$と直線$\ell$が$2$つの交点を持ち，$2$交点の$x$座標の差の絶対値は$4$であるとする．また，曲線$C$と直線$\ell$で囲まれる部分の面積は$64$であるとする．このとき，これを満たす$a,\ b$の値を求めなさい．