$2$つの曲線$y=e^x$と$y=a \sqrt{x}$の共有点が$1$個であるとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a$と共有点の座標を求めよ．
(2)この$2$つの曲線と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=e^x$と直線$\ell:y=x$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$を通り，直線$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と直線$\ell$との交点$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$t$で表せ．
(4)$(3)$で求めた距離の最小値を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)曲線$y=x^2+2x$と$x$軸とで囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{[　]}{[　]}$である．

(3)次の計算をせよ．


(i) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{[　]}-[　]$

(ii) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{[　]}-[　]}{[　]}$

(iii) $\displaystyle \frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}}=[　]-\sqrt{[　]}+\sqrt{[　]}$


(4)$x \neq 0$とするとき，$\displaystyle k=x+\frac{1}{x}$のとり得る値の範囲は，$k \leqq [　]$，または$k \geqq [　]$である．

以下の問いに答えよ．

$y=\sin x (0 \leqq x<2\pi) \cdots\cdots①$
$y=\cos x (0 \leqq x<2\pi) \cdots\cdots②$

(1)$①$式と$②$式で表される$2$曲線の交点の座標を求めよ．
(2)$①$式と$②$式で表される$2$曲線で囲まれる図形の面積を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)$s$を$0 \leqq s \leqq \sqrt{2}$を満たす実数とする．直線$y = x$と直線$y = -x+ \sqrt{2}s$の交点をPとする．直線$y = -x+\sqrt{2}s$と曲線$y =-x^2 +2x$の交点で$x$座標が1以下である点をQとし，Qの$x$座標を$t$とする．このとき，点Pと点Qの距離および$s$を，$t$を用いて表しなさい．
(2)直線$y = x$と曲線$y =-x^2 +2x$で囲まれた図形を直線$y = x$のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい．

Oを原点とする座標平面において，曲線$y=x^3$上の点P$(t,\ t^3)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をHとする．ただし，$t>0$である．Hを通り線分OPに垂直な直線と$y$軸との交点をQとし，線分HQと線分OPの交点をRとする．$\triangle$ORQの面積を$S_1$，$\triangle$HPRの面積を$S_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点Qの$y$座標を求めよ．
(2)点Rの$x$座標を求めよ．
(3)$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S_1S_2$の値を求めよ．
(5)$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

関数$f(x)=(1-x)e^{2x}$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C:y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(2)上で求めた変曲点と点$(1,\ 0)$とを通る直線を$\ell$とする．曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれる部分の面積を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{4}{3+4x^2}$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$の交点のうち，$x$座標が正であるものをPとする．点Pにおける$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(2)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{5+4 \cos x}} \quad (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$を求め，$f(x)$の増減を調べよ．また，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$x^2-xy-4x+2y+3=0$が表す曲線の概形を描け．その曲線が$x$軸および$y$軸と交差する場合にはその交点の座標を明記すること．また，漸近線が存在する場合には，その漸近線も描き，その式を明記すること．
(2)(1)で描かれた曲線と$x$軸および$y$軸で囲まれる図形をA，また(1)で描かれた曲線が$x$軸と$y$軸で交わる点を結んでできる図形をBとする．領域$A \cap B$の面積を求めよ．