$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$y=2e^{x-1}$と曲線$C:y=2 \log ax$は点$(b,\ c)$のみで接し，接線を共有する．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とし，$b \geqq 1$とする．また，$e$は自然対数の底とする．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を$a$の式で表せ．
(2)$t \geqq 1$のとき，$\displaystyle f(t)=e^{t-1}-\frac{1}{t}$の最小値を求めよ．さらに，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)曲線$C$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C:y=e^{ax} (a \neq 0)$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$C$上の点$(t,\ e^{at})$における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，この接線を$\ell$と表す．接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$，曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積が$\pi$となるような$a$の値を求めよ．

曲線$C:y=e^{ax} (a \neq 0)$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$C$上の点$(t,\ e^{at})$における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，この接線を$\ell$と表す．接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$，曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積が$\pi$となるような$a$の値を求めよ．

曲線$y=9-x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-3,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ 9-t^2)$をとる．次の問いに答えよ．ただし，$-3<t<3$とする．

(1)$\mathrm{P}$から$x$軸に垂線$\mathrm{PQ}$をおろすとき，$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$におけるこの曲線の接線と原点との距離が$3$であるとき，$t$の値を求めよ．

$y=|x(x-2)|$で与えられる曲線について以下の問いに答えよ．

(1)この曲線のグラフを描け．
(2)この曲線と直線$y=mx$の共有点の個数を$m$の値で分類せよ．
(3)$(2)$の共有点が$3$個のとき，この曲線と直線で囲まれる$2$つの図形のうち原点を含む側の図形の面積を$S_1$とし，もう一方の面積を$S_2$とする．このとき
\[ S_2-S_1=\frac{11}{6} \]
となるような$m$の値を求めよ．

$2$つの曲線$y=e \log x$，$y=ax^2$が共有点を持ち，その共有点における接線が一致するとき以下の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とする．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$x>0$の範囲で，関数
\[ f(x)=\frac{3}{x^2}-\frac{4}{x}+1 \]
を考える．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を求めなさい．
(2)$f(x)$の増減を調べなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

$a>0$のとき，座標平面上に曲線$C:y=x^2-x$と点$\mathrm{A}(a,\ -3a^2-a)$を考える．$\mathrm{A}$を通る$2$つの$C$の接線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．ただし，接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とする．

(1)座標平面上に$C$のグラフをかき，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積$S_2$を求めよ．
(4)$(1)$の$S_1$と$(3)$の$S_2$が等しくなるような$a$の値を求めよ．

$t$を任意の実数として，放物線$C_1:y=x^2-2(3t+2)x+4(3t+5)$を考える．

(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2)$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．