次の問に答えよ．

(1)次の定積分の値を計算せよ．
\[ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x^2} \, dx \]
(2)$0<x<\pi$とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sin x}$の極値を調べグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sin x}$が表す曲線と3直線$\displaystyle y=\frac{1}{2},\ x=\frac{\pi}{3},\ x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値，および，それらを与える$x$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点は$4$個あることを示せ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$y=f(x)=(x+2)e^{-x}$を曲線$A$，$y=ax+2a$を直線$B$とする（ただし，$a$は$a \neq 0$の実数）．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表を示せ．ただし，$f(x)$の第$2$次導関数まで求め，変曲点も増減表に示せ．
(3)曲線$A$が直線$B$に接するとき，$a$の値を求めよ．
(4)曲線$A$と直線$B$が接するとき，曲線$A$と直線$B$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-3x+2$について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=|f(x)|$と直線$y=kx+6$とが異なる$4$点で交わるような実数$k$の値の範囲を求めよ．

曲線$C:y=x^3-x^2$と放物線$D:y=3x^2+px+q$が共有点$(a,\ a^3-a^2)$で共通の接線を持つとする．

(1)$C$と$D$のすべての共有点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$D$は$x$軸と共有点を持つことを示せ．また，$D$と$x$軸が接するような$a$の値を求めよ．
(3)$0<a<1$のとき，$x$軸と$D$で囲まれた図形のうち$x \leqq a$の部分の面積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で曲線$C:y=x |x-k|$（ただし$k$は正の定数）と直線$\ell:y=mx$が原点以外に$2$点$\mathrm{P}(\alpha,\ m \alpha)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ m \beta)$で交わっている．ただし$0<\alpha<\beta$とする．

(1)$m$の範囲を$k$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$m$と$k$で表せ．
(3)$S$が最小となるときの$m$を$k$で表せ．
(4)$(3)$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}=\sqrt{2}$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$において，直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，曲線$\displaystyle y=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$および$x$軸で囲まれる図形を$D$とする．ただし，$D$は境界をすべて含む．このとき，次の各問に答えよ．

(1)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell:y=ax+b (a>0)$と図形$D$が共有点をもつとき，$a,\ b$のみたす不等式を求めよ．また，それらの不等式が表す領域を$a$-$b$平面上に図示せよ．
(3)図形$D$の面積$S$が，直線$y=4x+b$によって$2$等分されるような定数$b$の値を求めよ．

$2$つの整式
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& x^3+3x^2+mx+3 \\
g(x) &=& x^3+mx^2+(m+3)x+4
\end{eqnarray*}
を考える．ただし，$m$は整数の定数とする．$2$つの方程式$f(x)=0$，$g(x)=0$が共通の整数の解$n$をもつとき，次の問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．
(2)関数$y=g(x)$の極値およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．