関数$f(t)=\sin^2 t+2x \cos t$の$t$に関する最大値$M(x)$を$x$の関数とする．

(1)$-1<x<1$のとき，$M(x)$を$x$を用いて表し，曲線$y=M(x)$の概形を描きなさい．
(2)曲線$y=G(x)=3x^2$と$y=M(x)$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(3)直線$y=x-2$上の点$\mathrm{Q}$から，曲線$y=G(x)$に引いた$2$本の接線$L_1,\ L_2$の接点の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(4)$2$本の接線$L_1,\ L_2$と曲線$y=G(x)$で囲まれる図形の面積の最小値を求めなさい．

$\alpha>1$とする．$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{\alpha-1}$となる$t$に対して，$xy$平面上の点P$(\cos t,\ \sin t)$と点Q$(\cos \alpha t,\ \sin \alpha t)$を通る直線を$\ell_t$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を
\[ f(t)x+g(t)y=h(t) \]
とする．$h(t)=-\sin (\alpha-1)t$のとき，$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)行列$\left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ．
(3)$x(t),\ y(t)$を
\[ \left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
h(t) \\
h^\prime(t)
\end{array} \right) \]
を満たすものとし，点R$(x(t),\ y(t))$が描く曲線を$C$とする．このとき，点Rは直線$\ell_t$上にあり，曲線$C$の点Rにおける接線は$\ell_t$と一致することを示せ．

曲線$C:y=e^{-\frac{1}{2}x^2}$について以下の問いに答えなさい．

(1)曲線$C$上の点P$(t,\ e^{-\frac{1}{2}t^2})$における接線の方程式を求めなさい．
(2)(1)の接線と$x$軸，$y$軸および直線$x=t$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする．$t>0$の範囲で$t$が動くとき，$S(t)$の最大値を与える$t$とその最大値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(1,\ 0)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{B}(2,\ \log 2)$における接線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$とおく．曲線$y=f(x)$は2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を通り，さらにこの2点での接線がそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$と一致する．このときの$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$f(x)$に対して$g(x)=f(x)-\log x$とおく．関数$y=g(x) \ (1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を与える$x$の値を求めよ．ただし$0.69<\log 2<0.70$であることを用いてよい．

太郎君は関数$f(x)$を$x$について微分して導関数$f^\prime(x)=6x+6$を得た．次の(1)，(2)に答えよ．

(1)次の(a)，(b)のそれぞれの場合において，元の関数$f(x)$を求めよ．

\mon[(a)] $y=f(x)$が表す曲線と直線$y=2$が接する場合．
\mon[(b)] $y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{9}$になる場合．

(2)太郎君の話を聞いた花子さんは，次の$①$から$⑤$の付加条件を1つだけ加えて元の関数$f(x)$を求めることにした．
\begin{screen}
{\bf 付加条件}

\mon[$①$] $f(0)=3$
\mon[$②$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(2)-F(1)=7$
\mon[$③$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(0)=0$
\mon[$④$] $f^\prime(0)=f(1)$
\mon[$⑤$] $f^\prime(-1)=0$

\end{screen}
元の関数$f(x)$を求めることが{\bf できない}付加条件を$①$から$⑤$の中から選んで，その番号を全てかけ．

$a$を1より大きい実数とし，座標平面上に，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$をとる．曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$と，曲線$\displaystyle y=\frac{a}{x}$上の点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{a}{q} \right)$が，3条件

(1)$p>0,\ q>0$
(2)$\angle \mathrm{AOP}<\angle \mathrm{AOQ}$
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は3に等しい

をみたしながら動くとき，$\tan \angle \mathrm{POQ}$の最大値が$\displaystyle \frac{3}{4}$となるような$a$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．また，対数は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．以下の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (ax) \, dx$を求めよ．
(2)$0<x<e$の範囲で曲線$y=\log (ax)$と直線$y=1$とが交わるように，$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．座標平面において，曲線$y=\log (ax)$と2直線$y=0,\ x=e$とで囲まれた図形のうち，$y \leqq 1$の部分の面積を$S_1$，$y \geqq 1$の部分の面積を$S_2$とする．$S=S_1-S_2$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

3次関数$f(x)=x^3-3ax^2 \ (a>0)$と，曲線$C:y=f(x) \ (-\infty<x<\infty)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の変曲点における接線の式を求めよ．
(2)曲線$C$はこの変曲点に関して対称であることを示せ．
(3)$b,\ c$は実数とする．3次方程式$x^3-3ax^2=bx-c$が3つの解をもち，それらの解が等差数列をなすとき，$c$を$a,\ b$の式で表せ．
(4)(3)において，等差数列の公差が$2 \sqrt{3}$に等しいとする．このとき，3次関数$f(x)-bx+c$の極値を求めよ．

座標平面上に$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を取る．$\mathrm{P}_0$を通り$y$軸と平行な直線と曲線$\displaystyle C:y=\frac{5x+3}{x+3}$との交点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$とする．次に，$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell:y=x$との交点を$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする．さらに，$\mathrm{P}_2$を通り$y$軸と平行な直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$とし，$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell$との交点を$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$とする．以下この操作を続けて点列$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$，$\mathrm{P}_6(x_6,\ y_6)$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$，$\cdots$を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$のグラフを描け．また，その漸近線を求めよ．
(2)$\displaystyle z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}$を求めよ．
(3)数列$\{z_n\}$はどのような数列か．また，その一般項$z_n$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt$を考える．ただし，$\alpha$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$を定数とみて，$u=x-t$とおく．置換積分法を用いて，
\[ \int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt=\int_0^{x-\alpha}(x-\alpha-u)\cos u \, du \]
となることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x) \ (\alpha \leqq x \leqq \alpha+2\pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．