$2$つの関数$f(x)=x^3-6x^2+9x,\ g(x)=x^3-3x^2+3x-1$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$および$g(x)$の増減を調べ，曲線$y=f(x)$および$y=g(x)$を図示せよ．
(2)$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)(2)で面積を求めた図形と直線$y=4x+k$が共有点を持つとき，$k$の最小値を求めよ．

座標平面上で，行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で表される移動を$f$とする．0でないすべての実数$t$に対して，点P$\displaystyle \left( t+\frac{1}{t},\ t-\frac{1}{t} \right)$が$f$により曲線$x^2-y^2=4$上に移るとき，次の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$は，
\[ (a+b)^2=(c+d)^2,\quad (a-b)^2=(c-d)^2,\quad (a^2-c^2)+(d^2-b^2)=2 \]
を満たすことを示せ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$は，
\[ a^2-c^2=d^2-b^2=1,\quad ab=cd \]
を満たすことを示せ．
(3)$\biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr)$とするとき，
\[ X^2-Y^2=x^2-y^2 \]
となることを示せ．
(4)点Qが直線$y=x$上にあるとき，$f(Q)$は直線$y=x$または直線$y=-x$上にあることを示せ．

次に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$\displaystyle \sin^2 x=\sin^2 \left( x+\frac{\pi}{3} \right)$を解け．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と曲線$\displaystyle y=\sin^2 \left( x+\frac{\pi}{3} \right) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，$1.09<\log 3<1.10$を用いてよい．

(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{1+x^2}$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$を考える．

(1)曲線$C$と直線$\ell$との交点の座標を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸によって囲まれる図形を，$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸によって囲まれる図形を，$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．

$xy$平面上に
\[ |ye^{2x|-6e^{x}-8} =-(e^x-2)(e^x-4) \]
で定まる曲線がある．この曲線によって囲まれる図形の面積$K$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

直線$\displaystyle y=\frac{5-x}{4}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{5-p}{4} \right) \ (p>1)$から曲線$C:y=1-x^2$へ2本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引くことができる．

(1)$\ell_1$と$C$との接点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$C$との接点を$\mathrm{B}$とし，それぞれの$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha$を$p$の式で表せ．
(2)$\angle \mathrm{APB}=\theta$とする．$\tan \theta$を$p$の式で表せ．ただし$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)点$\mathrm{P}$が$p>1$の範囲を動くとき，$\theta$が最大となるような点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=(x-a)e^{-x} \]
について，次の各問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．

(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)$n$を正の整数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a+n$とで囲まれた部分の面積$S_n$を$n$と$a$で表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

$x^2-y^2=2$で表される曲線を$C$とし，P$(x_0,\ y_0)$を$C$上の点とする．次の各問いに答えよ．

(1)曲線$C$の点Pにおける接線$\ell$の方程式は
\[ x_0x-y_0y=2 \]
となることを証明せよ．
(2)原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとする．Hの座標を$(x_1,\ y_1)$とするとき，$x_1,\ y_1$を$x_0$と$y_0$で表せ．
(3)F$(1,\ 0)$，F$^\prime(-1,\ 0)$とする．$\text{FH} \cdot \text{F}^\prime \text{H}$は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ．また，その値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の逆関数を$g(x) \ (-1 \leqq t \leqq 1)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$-1<x<1$のとき，$g^\prime(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と直線$y=t \ (0<t<1)$の2つの交点の$x$座標を，それぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とおくとき，$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx$を$t$と関数$g$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle h(t)=\frac{2}{\pi}\int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx-\sqrt{1-t^2} \ (0<t<1)$とおくとき，$h(t)<0 \ (0<t<1)$を示し$h(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．