「曲線」について
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国立 信州大学 2010年 第1問次の2つの曲線の両方に接する傾きが正の直線$\ell$が原点を通っているとする．
\begin{eqnarray}
& & y = mx^2+a \quad (m > 0,\ a > 0) \nonumber \\
& & y = nx^2+b \quad (n < 0,\ b < 0) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$m,\ n,\ a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)曲線$y = mx^2+a$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，曲線$y = nx^2+b$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b$で表せ．
\begin{eqnarray}
& & y = mx^2+a \quad (m > 0,\ a > 0) \nonumber \\
& & y = nx^2+b \quad (n < 0,\ b < 0) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$m,\ n,\ a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)曲線$y = mx^2+a$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，曲線$y = nx^2+b$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b$で表せ．
国立 奈良教育大学 2010年 第4問$2$つの曲線$y=\sin x,\ y=\cos 2x$と$2$つの直線$x=0,\ x=2\pi$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第4問$2$曲線$y=x^2,\ y=2\sqrt{2x}$で囲まれた図形$D$について，次の問いに答えよ．
(1)図形$D$の面積を求めよ．
(2)図形$D$は直線$y=2$によって二つの図形に分けられる．このとき，それぞれの図形の面積$S_1,\ S_2$を求めよ．ただし，$S_1>S_2$とする．
(3)図形$D$の面積が直線$x=a$によって二等分されるとき，$a^3$の値を求めよ．
(1)図形$D$の面積を求めよ．
(2)図形$D$は直線$y=2$によって二つの図形に分けられる．このとき，それぞれの図形の面積$S_1,\ S_2$を求めよ．ただし，$S_1>S_2$とする．
(3)図形$D$の面積が直線$x=a$によって二等分されるとき，$a^3$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第1問曲線$y=-x^2+3x$について，以下の問いに答えよ．
(1)曲線$y=-x^2+3x$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(2)$a$を$0<a<3$をみたす定数とする．このとき，直線$y=ax$と曲線$y=-x^2+3x$との交点の$x$座標を求めよ．
(3)(1)の図形の面積を二等分する原点を通る直線を求めよ．
(1)曲線$y=-x^2+3x$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(2)$a$を$0<a<3$をみたす定数とする．このとき，直線$y=ax$と曲線$y=-x^2+3x$との交点の$x$座標を求めよ．
(3)(1)の図形の面積を二等分する原点を通る直線を求めよ．
国立 愛媛大学 2010年 第3問$f(x)=x^2-2|x|-1$とする．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 琉球大学 2010年 第3問点$(a,\ b)$を通り曲線$y=x^3-x$に接するような異なる3本の直線が存在するための実数$a,\ b$が満たすべき必要十分条件を求め，それを満たす点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．
国立 琉球大学 2010年 第4問$a>0$とし，
\[ f(x)=a^2(x+1)e^{-ax} \]
とおく．
(1)関数$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$c$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=c$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$0<a<1$における$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．ただし，$e>2$であることを証明なしに用いてよい．
\[ f(x)=a^2(x+1)e^{-ax} \]
とおく．
(1)関数$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$c$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=c$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$0<a<1$における$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．ただし，$e>2$であることを証明なしに用いてよい．
国立 奈良女子大学 2010年 第3問曲線$y=2x \sin x \cos x$を$C_1$とし，曲線$y=x \cos x$を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$において，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)(1)で求めた$x$座標の中で最大の値を$a$とする．区間$[\,0,\ a \,]$において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$において，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)(1)で求めた$x$座標の中で最大の値を$a$とする．区間$[\,0,\ a \,]$において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 富山大学 2010年 第2問曲線$\displaystyle C_1:y=\sin 2x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形が，曲線$\displaystyle C_2:y= k\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ k \text{は正の定数} \right)$によって2つの部分に分割されているとする．そのうちの，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．
(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．
国立 富山大学 2010年 第1問曲線$\displaystyle C_1:y=\sin 2x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形が，曲線$\displaystyle C_2:y= k\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ k \text{は正の定数} \right)$によって2つの部分に分割されているとする．そのうちの，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．
(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．