整数$k$に対して，曲線$y=4e^{-x}$と$x$軸，および直線$x=k$と$x=k+1$とで囲まれた図形の面積を$S_k$とする．同じく，この図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_k$とする．このとき，$S_k=[$7$]$，$V_k=[$8$]$であり，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$は$[$9$]$に，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n$は$[$10$]$に収束する．

$0<a<2$，$f(x)=x^5-a^4x$とする．

(1)曲線$y=f(x) (a \leqq x \leqq 2)$と直線$x=2$および$x$軸で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる$2$つの部分の面積の和$T(a)$を求めよ．
(3)$S(a)+T(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

$f(x)=x+\sqrt{2} \sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸および直線$x=2\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

曲線$y=-\cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる形をした容器がある．ただし，単位は$\mathrm{cm}$とする．この容器に毎秒$1 \, \mathrm{cm}^3$ずつ水を入れたとき，$t$秒後の水面の半径を$r \, \mathrm{cm}$とし，水の体積を$V \, \mathrm{cm}^3$とする．水を入れ始めてからあふれるまでの時間内で考えるとき，次の問いに答えよ．

(1)水の体積$V$を$r$の式で表せ．
(2)水を入れ始めて$t$秒後の$r$の増加する速度$\displaystyle \frac{dr}{dt}$を$r$の式で表せ．

関数$\displaystyle f(x)=2 \log \frac{2+\sqrt{4-x^2}}{x}-\sqrt{4-x^2}$を考える．ただし，対数は自然対数である．以下の問いに答えなさい．

(1)関数$f(x)$の定義域は$0<x \leqq a$である．$a$の値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$の概形をかきなさい．なお，$y$の増減およびグラフの凹凸を調べた過程も記載しなさい．
(3)$0<x_0<a$とし，上問$(2)$の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$における$C$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．ただし，$a$は上問$(1)$で求めた値とする．

関数$f(x)=x^{-2} \log x (x>0)$について次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(p,\ f(p))$における接線の方程式を求めよ．また，原点を通る接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$m \neq -1$に対して，不定積分$\displaystyle \int x^m \log x \, dx$を求めよ．また，曲線$y=f(x)$，直線$\ell$，および$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上に，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(2,\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る$2$次関数のグラフを$C$，また，$C$の$\mathrm{O}$における接線を$\ell$とする．

(1)$C$の方程式は，$y=[　]$である．
(2)$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積は$[　]$である．
(3)$\ell$の方程式は，$y=[　]$である．
(4)$\ell$と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[　]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(5)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる曲線を$C^\prime$とする．$\ell$が$C^\prime$の接線であるとき，$a,\ b$が満たす条件を求めなさい．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

$t>0$とする．放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における接線$\ell_1$と$x$軸との交点$\mathrm{A}$の$x$座標は$[　]$である．原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$を通る放物線の方程式は$y=[　]x^2-[　]x$であり，この放物線の原点における接線$\ell_2$の方程式は$y=-[　]x$である．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$の交点の座標は$([　],\ -[　])$であり，放物線$y=x^2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた図形の面積は$[$*$]$である．
点$\mathrm{P}$を通り，$\ell_1$に垂直な直線$\ell_3$の方程式は$y=-[　]x+[　]$であり，$\ell_3$と$y$軸および曲線$y=x^2 (x \geqq 0)$で囲まれた図形の面積は$[$**$]$である．そして，$[$**$]:[$*$]=6:1$となるのは，$t=[　]$のときである．

曲線$y=e^{-x}$上の点$(1,\ e^{-1})$における接線と$x$軸の交点を$(a_1,\ 0)$とする．次に，$y=e^{-x}$上の点$(a_1,\ e^{-a_1})$における接線と$x$軸の交点を$(a_2,\ 0)$とする．以下，同様に$a_n (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$を定める．次の問に答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_n$を求めよ．
(3)曲線上の点$(a_n,\ e^{-a_n})$における接線と，直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた三角形の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

曲線$y=e^{x^2}-1 (x \geqq 0)$を$y$軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に，時刻$t$における水の体積が$vt$となるように，単位時間あたり$v$の割合で水を注入する．ただし，$v$は正の定数であり，$y$軸の負の方向を鉛直下方とする．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (y+1) \, dy$を求めよ．
(2)水面の高さが$h$となったときの容器内の水の体積$V$を，$h$を用いて表せ．ただし，$h$は容器の底から測った高さである．
(3)水面の高さが$e^{10}-1$となった瞬間における，水面の高さの変化率$\displaystyle \frac{dh}{dt}$を求めよ．