座標平面上に，放物線$C:y=x^2-2x+1$と点$\mathrm{A}(1,\ -1)$がある．$\mathrm{A}$を通る$C$の接線のうち，傾きが負のものを$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して，$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{5}{4},\ \frac{1}{16} \right)$と線対称な点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求め，$C$，$\ell$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を同一平面上に図示せよ．
(3)$\ell$に関して，$y$軸と線対称な直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(4)$\ell$に関して，$C$と線対称な曲線を$D$とする．$D$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^{a(x+2)}}{a} (a>0)$と原点$\mathrm{O}$から$C$に引いた接線$\ell$を考える．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)(2)の$S$について，$S$を最小にする$a$の値と$S$の最小値を求めよ．

曲線$y=a \log x (a>0)$と$x$軸および直線$x=e$で囲まれた部分を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_1$，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$D$を図示せよ．
(2)$\displaystyle \int_1^e \log x \, dx$を求めよ．
(3)$V_1$と$V_2$を求めよ．
(4)$V_1=V_2$となるときの$a$の値を求めよ．

放物線$C_1$を$y=(x+1)^2+1$とする．$C_1$を$y$軸に関して対称移動した放物線を$C_2$とし，$C_1$を$x$軸に関して対称移動した放物線を$C_3$とする．次の各問に答えよ．

(1)$C_2$の方程式と$C_1$，$C_2$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$C_3$を平行移動して得られる曲線で，頂点が$\mathrm{P}$となる放物線を$C_4$とする．$C_4$の方程式を求めよ．
(3)$3$つの放物線$C_1$，$C_2$，$C_4$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

座標平面上の$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$を，それぞれ$C_1$，$C_2$とする．$0$以上の実数$t$に対して，$x$座標が$t$である点における$C_1$の接線を$\ell_1$，$x$座標が$t$である点における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．$0$以上の実数$t$を変化させるとき，$S(t)$の最大値を求めよ．また最大値を与える$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S(t)$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^2 S(t) \, dt$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \alpha=\left\{ \left( \frac{413}{8} \right)^{\frac{1}{2}}+6 \right\}^{\frac{1}{3}}-\left\{ \left( \frac{413}{8} \right)^{\frac{1}{2}}-6 \right\}^{\frac{1}{3}}$は整数を係数とする$3$次方程式
\[ 2x^3+[ア]x^2+[イ]x+[ウ]=0 \]
の解である．
(2)$f(x)=x^3-4x$とする．曲線$y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(t-1,\ f(t-1))$，$\mathrm{Q}(t+1,\ f(t+1))$をとる．線分$\mathrm{PQ}$が曲線$y=f(x)$と$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$以外の点で交わるための$t$の条件は
\[ \frac{[エ]}{[オ]}<t<\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．

座標平面上に曲線$C:y=-x^2$および，$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ -a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ -b^2)$（ただし$a<b$）を考える．$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell$，$\mathrm{B}$における$C$の接線を$m$とする．$2$直線$\ell$，$m$の交点を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$の各座標を$a,\ b$で表すと，
\[ x=\frac{[ク]}{[ケ]}a+\frac{[コ]}{[サ]}b,\quad y=[シ]ab \]
である．
(2)$\ell$と$m$が直交するように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に
\[ [ス]x+[セ]y-1=0 \]
を満たす．
(3)$\angle \mathrm{APB}=135^\circ$であるように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に
\[ [ソ]x^2+[タ] \left( y+\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^2+1=0 \]
を満たし，$x=0$のとき$\mathrm{P}(0,\ y)$の$y$座標は
\[ \frac{[テ]}{[ト]}+\frac{[ナ]}{[ニ]} \sqrt{[ヌ]} \]
である．

次の空欄アに$①$～$④$のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)実数$x,\ y$に対して，$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを，$①$「必要条件」，$②$「十分条件」，$③$「必要十分条件」，$④$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，$[ア]$となる．
(2)$3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が，$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき，$k=[イ]$である．
(3)$3$つの数$\log_2 x$，$\log_2 10$，$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき，$x=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(5)座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．
(6)自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで，はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き，途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする．出発してから$16$分以内に駅に到着するには，歩きはじめてから$[ク]$分以内に走り出さなければならない．
(7)点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について，$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき，$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=[ケ]$である．
(8)実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$，および$a^2+b^2=3$を満たすとき，$ax+by$の最大値は$[コ]$で，最小値は$[サ]$である．
(9)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし，$x$と共役な複素数を$y$とするとき，$x^3+y^3=[シ]$となる．ただし，$i$は虚数単位とする．
\mon $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき，$\cos (x+y)$の値は$[ス]$である．

座標平面において，動点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t^{\frac{1}{4}} (1-t)^{\frac{3}{4}},\quad y=t^{\frac{3}{4}} (1-t)^{\frac{1}{4}} \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．

(1)動点$\mathrm{P}$の$x$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{[ナ]}{[ニ]}$のときであり，$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のときである．
(2)$0<t<1$のとき，動点$\mathrm{P}$の速さの最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]}$である．
(3)動点$\mathrm{P}$が直線$y=x$上に来るのは$t=0$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ヒ]}{[フ]}$のとき，$t=1$のときの$3$回である．
(4)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，動点$\mathrm{P}$の描く曲線を$L$とする．$L$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．

曲線$y=e^x$を$C$とする．点$\mathrm{Q}_1$を$x$軸上に取る．点$\mathrm{Q}_1$を通り$y$軸と平行な直線を$\ell_1$とする．$\ell_1$が$C$と交わる点を$\mathrm{P}_1$とする．点$\mathrm{P}_1$における$C$の接線を$\ell_1^\prime$とする．$\ell_1^\prime$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_2$とする．さらに，点$\mathrm{Q}_2$を通り$y$軸と平行な直線を$\ell_2$とする．$\ell_2$が$C$と交わる点を$\mathrm{P}_2$とする．点$\mathrm{P}_2$における$C$の接線を$\ell_2^\prime$とする．$\ell_2^\prime$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_3$とする．これを続けて，$C$上の点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$を決める．$\mathrm{P}_1$の座標を$(a,\ e^a)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{Q}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)$C$と直線$\ell_n^\prime$および$\ell_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$s_n$とするとき，無限級数$s_1+s_2+\cdots +s_n+\cdots$の和を求めよ．