「曲線」について
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私立 早稲田大学 2011年 第5問$a$を$0$でない実数とする．$2$つの異なる曲線
\[ C_1: y=x^2-2x+5,\quad C_2: y=ax^2+(1-3a)x+\frac{13}{8}\]
は，ある共有点$\mathrm{P}$で共通な接線$\ell$をもつ．さらに，曲線$C_2$上の点$\mathrm{Q}$において$\ell$以外の接線を，$\ell$と点$\mathrm{R}$で直交するように引く．このとき$a$の値は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，共通接線$\ell$の方程式は$[チ]x-[ツ]y+[テ]=0$である．また，曲線$C_2$は$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$1:[ト]$に分ける．ただし，$[タ]$から$[ト]$はできる限り小さい自然数で答えること．
\[ C_1: y=x^2-2x+5,\quad C_2: y=ax^2+(1-3a)x+\frac{13}{8}\]
は，ある共有点$\mathrm{P}$で共通な接線$\ell$をもつ．さらに，曲線$C_2$上の点$\mathrm{Q}$において$\ell$以外の接線を，$\ell$と点$\mathrm{R}$で直交するように引く．このとき$a$の値は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，共通接線$\ell$の方程式は$[チ]x-[ツ]y+[テ]=0$である．また，曲線$C_2$は$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$1:[ト]$に分ける．ただし，$[タ]$から$[ト]$はできる限り小さい自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2011年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．
(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．
私立 早稲田大学 2011年 第1問曲線$y=\log_4x$上に，その$x$座標を，それぞれ，$\displaystyle\frac{1}{2}t,\ t,\ 2t (t>0)$とする$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をとる．このとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離は$[ア]$であり，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$[イ]$である．空欄にあてはまる$t$の式を解答欄に記入せよ．
私立 立教大学 2011年 第1問$f(x)=x^3+3x^2+4$とするとき，座標平面上の曲線$y=f(x)$について，次の問に答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(2)点$(t,\ f(t))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の接線で点$(1,\ a)$を通るものがちょうど$3$本あるような$a$の範囲を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$の接線で点$(1,\ a)$を通るものがちょうど$2$本あるような最小の$a$に対して，$2$本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(2)点$(t,\ f(t))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の接線で点$(1,\ a)$を通るものがちょうど$3$本あるような$a$の範囲を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$の接線で点$(1,\ a)$を通るものがちょうど$2$本あるような最小の$a$に対して，$2$本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
私立 自治医科大学 2011年 第23問曲線$C:y=2x^3-9x^2-60x+140$，直線$L:y=k$（$k$は実数）について考える．曲線$C$と直線$L$は，$k=a$および$k=b$（$a<b$）（$a,\ b$ともに実数）のとき，それぞれ，$1$点で接し，その接点とは異なる$1$点で，交わるものとする．$|\displaystyle \frac{b|{16}+\frac{a}{27}}$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2011年 第24問放物線$C:f(x)=-x^2+x$について考える．$C$上の$2$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ f(a))$（$a>0$，$a$は実数）とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$が曲線$\mathrm{OA}$上を動くとき，三角形$\mathrm{OPA}$の面積の最大値は，$\displaystyle \frac{a^3}{M}$となる．$M$の値を求めよ．（ただし，$0<t<a$，$t$は実数）
私立 明治大学 2011年 第2問曲線$C:y=x^2$上に，$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{B}^\prime (-b,\ b^2)$が与えられている．ただし，$-b<a<0<b$とする．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結ぶ直線$\ell$の方程式は，$[ ]$である．
(2)点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通り，$y$軸に平行な直線が$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$a<p<b$とする．$\mathrm{PQ}$の長さは，$[ ]$である．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を固定して，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値は，$[ ]$である．
(4)$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$を固定して，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$の間を動くとき，四角形$\mathrm{BB}^\prime \mathrm{AP}$の面積の最大値を求めよ．またこのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の位置を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結ぶ直線$\ell$の方程式は，$[ ]$である．
(2)点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通り，$y$軸に平行な直線が$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$a<p<b$とする．$\mathrm{PQ}$の長さは，$[ ]$である．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を固定して，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値は，$[ ]$である．
(4)$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$を固定して，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$の間を動くとき，四角形$\mathrm{BB}^\prime \mathrm{AP}$の面積の最大値を求めよ．またこのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の位置を求めよ．
私立 明治大学 2011年 第3問次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．
関数$f(t)$は$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において微分可能で$f(t)>0$かつ$f^\prime(t)>0$をみたすとする．また$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)=2$とする．
媒介変数表示$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
x=f(t) \cos t \\
y=f(t) \sin t
\end{array} \right. \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(f(t) \cos t,\ f(t) \sin t)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{A}(a(t),\ 0)$とすれば
\[ a(t)=\frac{(f(t))^2}{f^\prime(t) [ア]+f(t) [イ]} \]
となる．$\mathrm{O}$を原点とするとき，すべての$t$に対し$\mathrm{OP}=\mathrm{OA}$であれば$f$は
\[ f^\prime(t) [ア]+f(t) [ウ]=0 \]
をみたす．この式の両辺に$\cos t+1$をかけて整理すると
\[ \frac{d}{dt} \left( f(t) [エ] \right)=0 \]
となり，
\[ f(t)=[オ] [エ]^{-1} \]
が得られる．
関数$f(t)$は$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において微分可能で$f(t)>0$かつ$f^\prime(t)>0$をみたすとする．また$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)=2$とする．
媒介変数表示$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
x=f(t) \cos t \\
y=f(t) \sin t
\end{array} \right. \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(f(t) \cos t,\ f(t) \sin t)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{A}(a(t),\ 0)$とすれば
\[ a(t)=\frac{(f(t))^2}{f^\prime(t) [ア]+f(t) [イ]} \]
となる．$\mathrm{O}$を原点とするとき，すべての$t$に対し$\mathrm{OP}=\mathrm{OA}$であれば$f$は
\[ f^\prime(t) [ア]+f(t) [ウ]=0 \]
をみたす．この式の両辺に$\cos t+1$をかけて整理すると
\[ \frac{d}{dt} \left( f(t) [エ] \right)=0 \]
となり，
\[ f(t)=[オ] [エ]^{-1} \]
が得られる．
私立 明治大学 2011年 第4問次の空欄$[ア]$から$[ス]$に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄$[シス]$は$2$桁の数字をあらわす．
$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）
$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）
私立 南山大学 2011年 第2問座標平面上に放物線$C:y=x^2$と$4$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(-p,\ p^2)$，$\mathrm{R}(-p,\ p^2+2p)$，$\mathrm{S}(p,\ p^2+2p)$がある．また，$3$次関数$y=f(x)$は$x=-p$で極小値$p^2$，$x=p$で極大値$p^2+2p$をとる．ただし，$p>0$とする．
(1)$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積と正方形$\mathrm{PQRS}$の面積が等しくなる$p$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を$p$で表せ．
(3)$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線が$\ell$と垂直になるとき，$a$を$p$で表せ．
(1)$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積と正方形$\mathrm{PQRS}$の面積が等しくなる$p$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を$p$で表せ．
(3)$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線が$\ell$と垂直になるとき，$a$を$p$で表せ．