「曲線」について
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国立 室蘭工業大学 2011年 第1問$x$の$2$次関数$f(x)$が条件$f(0)=3$，$f^\prime(0)=-2$，$f^\prime(3)=4$を満たすとする．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ 0 \right)$から$2$本の接線を引いたとき，それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$および$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ 0 \right)$から$2$本の接線を引いたとき，それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$および$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 長岡技術科学大学 2011年 第3問曲線$C:y=e^{2x}$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{2t})$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{Q}$が$x$軸の正の部分にあるような$t$の範囲を求めなさい．
(2)$t$が前問の範囲にあるとき，$C$および$3$直線$\ell,\ y=0,\ x=0$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(1)$\mathrm{Q}$が$x$軸の正の部分にあるような$t$の範囲を求めなさい．
(2)$t$が前問の範囲にあるとき，$C$および$3$直線$\ell,\ y=0,\ x=0$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．
国立 京都教育大学 2011年 第6問$-1 \leqq a \leqq 1$として，次の問に答えよ．
(1)直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が，ただ1つの点を共有することを示せ．
(2)方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 1$とする．次の条件
\[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \]
をみたす$y$を$g(x)$とおく．曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ．
(4)曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$g(x)$は(3)で定義されたものとする．
(1)直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が，ただ1つの点を共有することを示せ．
(2)方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 1$とする．次の条件
\[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \]
をみたす$y$を$g(x)$とおく．曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ．
(4)曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$g(x)$は(3)で定義されたものとする．
国立 長崎大学 2011年 第1問$f(x)=1-x^2$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$は$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$の範囲で動くものとする．原点と点$\mathrm{P}$の$2$点を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$2$直線$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$において，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)$とし，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$m$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1(a)=2S_2(a)$を満たす$a$の値を求めよ．
(4)$S_1(a)-S_2(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)$2$直線$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$において，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)$とし，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$m$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1(a)=2S_2(a)$を満たす$a$の値を求めよ．
(4)$S_1(a)-S_2(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2011年 第3問関数$\displaystyle f(x)=4x+\frac{22}{3}$がある．また関数$g(x)$は等式
\[ g(x)=x(x+2)+\int_{-1}^1 g(t) \, dt \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$g(x)$を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$，直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点のうち$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}$，直線$y=f(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．また点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BC}$上にとり，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$y=g(x)$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{PA}$，および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．
\[ g(x)=x(x+2)+\int_{-1}^1 g(t) \, dt \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$g(x)$を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$，直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点のうち$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}$，直線$y=f(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．また点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BC}$上にとり，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$y=g(x)$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{PA}$，および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．
国立 長崎大学 2011年 第6問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において次の不等式を解け．
\[ \sin x+\cos 2x \geqq 0 \]
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，曲線$y=\sin x$と曲線$y=-\cos 2x$および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}$が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(3)上の図形の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において次の不等式を解け．
\[ \sin x+\cos 2x \geqq 0 \]
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，曲線$y=\sin x$と曲線$y=-\cos 2x$および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}$が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(3)上の図形の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 長崎大学 2011年 第8問曲線$y=\log x$の接線は常にこの曲線の上側にあることを利用して，次の問いに答えよ．以下，$k$は自然数とする．
(1)点$\mathrm{A}_k(k,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$y=\log x$との交点を${\mathrm{A}_k}^\prime$とし，${\mathrm{A}_k}^\prime$におけるこの曲線の接線を$\ell_k$とする．また，$k \geqq 2$のとき，$\displaystyle \mathrm{B}_k \left( k-\frac{1}{2},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{C}_k \left( k+\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通り$x$軸に垂直な直線と接線$\ell_k$との交点をそれぞれ${\mathrm{B}_k}^\prime$，${\mathrm{C}_k}^\prime$とする．四角形$\mathrm{B}_k \mathrm{C}_k {\mathrm{C}_k}^\prime {\mathrm{B}_k}^\prime$の面積を求めよ．
(2)次の2つの値の大小を比較せよ．
(i) $\log k$と$\displaystyle \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 2$）
(ii) $\displaystyle \frac{\log k+\log (k+1)}{2}$と$\displaystyle \int_k^{k+1} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 1$）
(3)$\displaystyle a_n=\log (n!)-\frac{1}{2}\log n$とおくと，2以上の自然数$n$について，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_{\frac{3}{2}}^n \log x \, dx<a_n<\int_1^n \log x \, dx \]
(4)2以上の自然数$n$について
\[ \left\{
\begin{array}{l}
U_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+\displaystyle\frac{3}{2} \left( 1-\log \displaystyle\frac{3}{2} \right) \\
V_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+1
\end{array}
\right. \]
とおくとき，次の不等式を示せ．
\[ U_n<\log (n!)<V_n \]
(1)点$\mathrm{A}_k(k,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$y=\log x$との交点を${\mathrm{A}_k}^\prime$とし，${\mathrm{A}_k}^\prime$におけるこの曲線の接線を$\ell_k$とする．また，$k \geqq 2$のとき，$\displaystyle \mathrm{B}_k \left( k-\frac{1}{2},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{C}_k \left( k+\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通り$x$軸に垂直な直線と接線$\ell_k$との交点をそれぞれ${\mathrm{B}_k}^\prime$，${\mathrm{C}_k}^\prime$とする．四角形$\mathrm{B}_k \mathrm{C}_k {\mathrm{C}_k}^\prime {\mathrm{B}_k}^\prime$の面積を求めよ．
(2)次の2つの値の大小を比較せよ．
(i) $\log k$と$\displaystyle \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 2$）
(ii) $\displaystyle \frac{\log k+\log (k+1)}{2}$と$\displaystyle \int_k^{k+1} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 1$）
(3)$\displaystyle a_n=\log (n!)-\frac{1}{2}\log n$とおくと，2以上の自然数$n$について，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_{\frac{3}{2}}^n \log x \, dx<a_n<\int_1^n \log x \, dx \]
(4)2以上の自然数$n$について
\[ \left\{
\begin{array}{l}
U_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+\displaystyle\frac{3}{2} \left( 1-\log \displaystyle\frac{3}{2} \right) \\
V_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+1
\end{array}
\right. \]
とおくとき，次の不等式を示せ．
\[ U_n<\log (n!)<V_n \]
国立 九州工業大学 2011年 第3問実数$p>0$と関数$f(x)=x^3-x$がある．$2$曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=f(x+p)-p$について，次に答えよ．
(1)曲線$C_1$と$C_2$が共有点を$2$個もつときの$p$の範囲を求めよ．
(2)実数$\alpha,\ \beta$に対して
\[ \int_{\alpha}^{\beta}(\beta-x)(x-\alpha) \, dx=\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \]
を示せ．
(3)$p$が(1)で求めた範囲を動くとき，曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた図形の面積$S(p)$の最大値を求めよ．
(1)曲線$C_1$と$C_2$が共有点を$2$個もつときの$p$の範囲を求めよ．
(2)実数$\alpha,\ \beta$に対して
\[ \int_{\alpha}^{\beta}(\beta-x)(x-\alpha) \, dx=\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \]
を示せ．
(3)$p$が(1)で求めた範囲を動くとき，曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた図形の面積$S(p)$の最大値を求めよ．
国立 九州工業大学 2011年 第4問曲線$C_1:y=\sqrt{x} |\log x|$と曲線$C_2:y=\sqrt{x}$がある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．
国立 福岡教育大学 2011年 第4問$n$を$2$以上の自然数とし，$x$の関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=x^n \log 2x,\quad g(x)=\log 2x \]
とする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
\[ f(x)=x^n \log 2x,\quad g(x)=\log 2x \]
とする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．