「曲線」について
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国立 山形大学 2011年 第3問座標平面上で原点を中心とする角$\theta \ $(ラジアン)の回転移動を表す行列を$R(\theta)$とする．また，$\displaystyle 0<\theta<\pi \ \left( \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$となる$\theta$に対し，直線$y=(\tan \theta)x$に関する対称移動を表す行列を$A(\theta)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)行列$X=R(\theta)^{-1}A(\theta)R(\theta)$を求めよ．また，$s$に対して$XR(s)X=R(t)$を満たす$t$を求めよ．ただし，$R(\theta)^{-1}$は$R(\theta)$の逆行列である．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\pi,\ 0<\beta<\pi \ \left( \alpha,\ \beta \neq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$A(\alpha) A(\beta)$を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$のとき，$A(\alpha)A(\beta)=A(\beta)A(\alpha)$となるための必要十分条件を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}$で，点$(\tan \alpha,\ \tan \beta)$が曲線$\displaystyle y=\frac{3x-1}{x+3}$上にあるとき，次の\maru{1}，\maru{2}に答えよ．
\mon[\maru{1}] $\tan (\alpha-\beta)$の値を求めよ．
\mon[\maru{2}] $A(\alpha)A(\beta)$を求めよ．
(1)行列$X=R(\theta)^{-1}A(\theta)R(\theta)$を求めよ．また，$s$に対して$XR(s)X=R(t)$を満たす$t$を求めよ．ただし，$R(\theta)^{-1}$は$R(\theta)$の逆行列である．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\pi,\ 0<\beta<\pi \ \left( \alpha,\ \beta \neq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$A(\alpha) A(\beta)$を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$のとき，$A(\alpha)A(\beta)=A(\beta)A(\alpha)$となるための必要十分条件を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}$で，点$(\tan \alpha,\ \tan \beta)$が曲線$\displaystyle y=\frac{3x-1}{x+3}$上にあるとき，次の\maru{1}，\maru{2}に答えよ．
\mon[\maru{1}] $\tan (\alpha-\beta)$の値を求めよ．
\mon[\maru{2}] $A(\alpha)A(\beta)$を求めよ．
国立 大阪教育大学 2011年 第3問座標平面上の円$x^2+y^2=1$を$C$とする．点Pが行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \biggr)$で表される1次変換で点Qに移されるとき，次の問に答えよ．
(1)点Pが円$C$上を動くとき，点Qの軌跡を求め，図示せよ．
(2)(1)で求めた曲線で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \biggr)$で表される1次変換で点Qに移されるとき，次の問に答えよ．
(1)点Pが円$C$上を動くとき，点Qの軌跡を求め，図示せよ．
(2)(1)で求めた曲線で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第4問媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 東京農工大学 2011年 第3問2つの関数
\[ f(x)=\sin 3x+\sin x+\cos x,\quad g(x)=\cos 3x \]
について，次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq n\pi$における2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の交点の個数を$r$とする．$r$を$n$の式で表せ．ただし，$n$は正の整数とする．
(2)区間$0 \leqq x \leqq \pi$において$f(x)<g(x)$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)定積分
\[ I=\int_0^\pi |f(x)-g(x)| \, dx \]
の値を求めよ．
\[ f(x)=\sin 3x+\sin x+\cos x,\quad g(x)=\cos 3x \]
について，次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq n\pi$における2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の交点の個数を$r$とする．$r$を$n$の式で表せ．ただし，$n$は正の整数とする．
(2)区間$0 \leqq x \leqq \pi$において$f(x)<g(x)$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)定積分
\[ I=\int_0^\pi |f(x)-g(x)| \, dx \]
の値を求めよ．
国立 東京農工大学 2011年 第4問$c$を正の実数とする．関数$f(x)=(x+c)e^{2x}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$y=f(x)$は$x=k$のとき最小値$m$をとる．このとき，$k$と$m$を$c$の式で表せ．
(2)$k$を(1)で求めた値とする．このとき，定積分
\[ T=\int_k^{-c} f(x) \, dx \]
を$c$の式で表せ．
(3)$T$を(2)で求めた値とする．区間$-c \leqq x \leqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸および$y$軸のすべてで囲まれた部分の面積を$S$とする．$\displaystyle S=\frac{e}{2-e}T$となるときの$c$の値を求めよ．
(1)$y=f(x)$は$x=k$のとき最小値$m$をとる．このとき，$k$と$m$を$c$の式で表せ．
(2)$k$を(1)で求めた値とする．このとき，定積分
\[ T=\int_k^{-c} f(x) \, dx \]
を$c$の式で表せ．
(3)$T$を(2)で求めた値とする．区間$-c \leqq x \leqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸および$y$軸のすべてで囲まれた部分の面積を$S$とする．$\displaystyle S=\frac{e}{2-e}T$となるときの$c$の値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第2問次の方程式で表される曲線$C$を考える．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第2問次の方程式で表される曲線$C$を考える．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第6問曲線$C$は極方程式$r=2 \cos \theta$で定義されているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)曲線$C$を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表し，さらに図示せよ．
(2)点$(-1,\ 0)$を通る傾き$k$の直線を考える．この直線が曲線$C$と$2$点で交わるような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)のもとで，$2$交点の中点の軌跡を求めよ．
(1)曲線$C$を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表し，さらに図示せよ．
(2)点$(-1,\ 0)$を通る傾き$k$の直線を考える．この直線が曲線$C$と$2$点で交わるような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)のもとで，$2$交点の中点の軌跡を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \log x \, dx$および$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}(a+\log x) \ (1 \leqq x \leqq e)$と$x$軸および2直線$x=1,\ x=e$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$を用いて表せ．また，$a$が実数全体を動くとき，$V$を最小とする$a$の値を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \log x \, dx$および$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}(a+\log x) \ (1 \leqq x \leqq e)$と$x$軸および2直線$x=1,\ x=e$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$を用いて表せ．また，$a$が実数全体を動くとき，$V$を最小とする$a$の値を求めよ．
国立 旭川医科大学 2011年 第3問曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$と曲線$y=e^{-x}$が一点で交わり，交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする．次の問いに答えよ．
(1)交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき，$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す．曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき，
\[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \]
を求めよ．
(3)$X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ．
(1)交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき，$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す．曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき，
\[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \]
を求めよ．
(3)$X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ．