「曲線」について
タグ「曲線」の検索結果
(11ページ目:全1320問中101問~110問を表示)![福井大学](./img/univ/fukui.png)
$a$を正の定数とし,$f(x)=(x+a) \log x$とする.曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線$\ell$が原点を通るとき,以下の問いに答えよ.
(1)$a$の値と,接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)曲線$C$と$x$軸,および接線$\ell$とで囲まれた図形を,$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき,関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ.
(1)$a$の値と,接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)曲線$C$と$x$軸,および接線$\ell$とで囲まれた図形を,$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき,関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
$f(x)=x^3$,$g(x)=x^3-4$とし,曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$の両方に接する直線を$\ell$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$\ell$と$C_1$との接点を$\mathrm{P}$,$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$,$\ell$と$C_1$とが$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QR}$の長さの比$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ.
(3)$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$\ell$と$C_1$との接点を$\mathrm{P}$,$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$,$\ell$と$C_1$とが$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QR}$の長さの比$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ.
(3)$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
関数$f(x)=e^x+e^{-x}$があり,$g(x)=f^\prime(x)$,$h(x)=xf(x)$とおく.$a$を実数として,点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の法線を$\ell$とし,点$\mathrm{Q}(a,\ g(a))$における曲線$y=g(x)$の法線を$m$とする.$\ell$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1)$\mathrm{R}$の座標を,$a$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ.
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$,$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を,$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
(1)$\mathrm{R}$の座標を,$a$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ.
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$,$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を,$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
![東京海洋大学](./img/univ/tokyokaiyou.png)
$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2+5$について次の問に答えよ.
(1)$f(x)$の極値を求め,$y=f(x)$のグラフをかけ.
(2)点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$を通る直線が点$\mathrm{P}$とは異なる点$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$で曲線$y=f(x)$に接するとき,$q$を$p$で表せ.
(1)$f(x)$の極値を求め,$y=f(x)$のグラフをかけ.
(2)点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$を通る直線が点$\mathrm{P}$とは異なる点$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$で曲線$y=f(x)$に接するとき,$q$を$p$で表せ.
![同志社大学](./img/univ/doshisha.png)
次の問いに答えよ.
(1)関数$f(u)=\log (\sqrt{u}-1)-\log (\sqrt{u}+1)$の導関数$f^\prime(u)$を求めよ.
(2)関数$F(x)=\log (\sqrt{e^{2x}+1}-1)-\log (\sqrt{e^{2x}+1}+1)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ.
(3)等式$\displaystyle \sqrt{e^{2x}+1}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}+\frac{1}{\sqrt{e^{2x}+1}}$を用いて,不定積分$\displaystyle \int \sqrt{e^{2x}+1} \, dx$を求めよ.
(4)曲線$\displaystyle y=e^x \left( \frac{1}{2} \log 8 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \log 24 \right)$の長さを求めよ.
(1)関数$f(u)=\log (\sqrt{u}-1)-\log (\sqrt{u}+1)$の導関数$f^\prime(u)$を求めよ.
(2)関数$F(x)=\log (\sqrt{e^{2x}+1}-1)-\log (\sqrt{e^{2x}+1}+1)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ.
(3)等式$\displaystyle \sqrt{e^{2x}+1}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}+\frac{1}{\sqrt{e^{2x}+1}}$を用いて,不定積分$\displaystyle \int \sqrt{e^{2x}+1} \, dx$を求めよ.
(4)曲線$\displaystyle y=e^x \left( \frac{1}{2} \log 8 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \log 24 \right)$の長さを求めよ.
![南山大学](./img/univ/nanzan.png)
関数$f(x)=xe^x$と曲線$C:y=f(x)$を考える.
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)$C$上の点$(t,\ te^t)$における$C$の接線の方程式を求めよ.
(3)$C$の接線で点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものを求めよ.
(4)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ.
(5)$(3)$で求めた接線のうち,接点の$x$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きいものを$\ell$とするとき,$C$と$\ell$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)$C$上の点$(t,\ te^t)$における$C$の接線の方程式を求めよ.
(3)$C$の接線で点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものを求めよ.
(4)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ.
(5)$(3)$で求めた接線のうち,接点の$x$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きいものを$\ell$とするとき,$C$と$\ell$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
$2$つの関数$f(x)=x^3-x^2-x+c$,$g(x)=4x+1$がある.$x$は$0 \leqq x \leqq a$を満たす.ただし,$a$は整数,$c$は実数とする.
$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,\ f(0))$,$(a,\ f(a))$を結ぶ直線は,$\displaystyle x=\frac{a}{3}$における$y=f(x)$の接線と直交する.このとき,
(1)$a=[$24$]$である.
(2)$c=0$のとき,関数$f(x)$の最大値は$[$25$]$である.
(3)方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は
\[ [$26$] \leqq c<\frac{[$27$][$28$][$29$]}{[$30$][$31$]} \]
である.
$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,\ f(0))$,$(a,\ f(a))$を結ぶ直線は,$\displaystyle x=\frac{a}{3}$における$y=f(x)$の接線と直交する.このとき,
(1)$a=[$24$]$である.
(2)$c=0$のとき,関数$f(x)$の最大値は$[$25$]$である.
(3)方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は
\[ [$26$] \leqq c<\frac{[$27$][$28$][$29$]}{[$30$][$31$]} \]
である.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
$f(x)=x^3-3 |x|$とする.以下の問いに答えなさい.
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかきなさい.
(2)$f(x)+a=0$を満たす実数$x$が$1$つであるような定数$a$の値の範囲を求めなさい.
(3)曲線$y=f(x)+b$上の点$(-2,\ f(-2)+b)$における接線が原点を通るような定数$b$の値を求めなさい.また,その接線の方程式を求めなさい.
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかきなさい.
(2)$f(x)+a=0$を満たす実数$x$が$1$つであるような定数$a$の値の範囲を求めなさい.
(3)曲線$y=f(x)+b$上の点$(-2,\ f(-2)+b)$における接線が原点を通るような定数$b$の値を求めなさい.また,その接線の方程式を求めなさい.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
次の問いに答えよ.
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり,$x^3$の係数は$1$である.$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り,$x-9$で割ると$12$余る.方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ.$a,\ b$は$1$桁の自然数であり,$i$は虚数単位とする.
ただし$a,\ b$の組み合わせは,$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち,$a-b$が最大となるものとする.このとき,
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると,余りは$[$1$]x-[$2$]$である.
(ii) $a=[$3$]$,$b=[$4$]$であり,方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である.
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある.$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする.
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし,また,$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とする.ただし,$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする.このとき,
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である.
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる.
(3)$xy$平面上に,原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と,$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある.円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき,$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする.ただし$t$は,$t \geqq 0$を満たす実数である.このとき,
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち,$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である.
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である.
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$($\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$)に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする.辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし,線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$,線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする.三角形$\mathrm{AOB}$に対して,自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は,$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす.このとき,
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である.
(ii) $l=17$のとき,$m=[$18$][$19$]$,$n=[$20$]$であり,$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である.
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり,$x^3$の係数は$1$である.$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り,$x-9$で割ると$12$余る.方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ.$a,\ b$は$1$桁の自然数であり,$i$は虚数単位とする.
ただし$a,\ b$の組み合わせは,$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち,$a-b$が最大となるものとする.このとき,
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると,余りは$[$1$]x-[$2$]$である.
(ii) $a=[$3$]$,$b=[$4$]$であり,方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である.
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある.$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする.
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし,また,$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とする.ただし,$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする.このとき,
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である.
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる.
(3)$xy$平面上に,原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と,$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある.円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき,$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする.ただし$t$は,$t \geqq 0$を満たす実数である.このとき,
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち,$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である.
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である.
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$($\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$)に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする.辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし,線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$,線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする.三角形$\mathrm{AOB}$に対して,自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は,$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす.このとき,
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である.
(ii) $l=17$のとき,$m=[$18$][$19$]$,$n=[$20$]$であり,$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$f(x)=x^3-x$とする.$xy$平面上の点$(p,\ q)$から曲線$y=f(x)$へ引いた接線を考える.次の問に答えよ.
(1)直線$y=m(x-p)+q$が曲線$y=f(x)$の接線となるための条件を$m,\ p,\ q$を用いて表せ.
(2)点$(p,\ q)$から曲線$y=f(x)$に$3$本の接線を引くことができるとき,$p,\ q$の条件を求めよ.
(3)$(2)$の条件を満たす点$(p,\ q)$の範囲を図示せよ.
(1)直線$y=m(x-p)+q$が曲線$y=f(x)$の接線となるための条件を$m,\ p,\ q$を用いて表せ.
(2)点$(p,\ q)$から曲線$y=f(x)$に$3$本の接線を引くことができるとき,$p,\ q$の条件を求めよ.
(3)$(2)$の条件を満たす点$(p,\ q)$の範囲を図示せよ.