原点から曲線$C:y=e^{2x}$へひいた接線と$C$との接点をP$(a,\ b)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)点$(0,\ 1)$から点Pまで曲線$C$に沿って点Qが動く．$C$の点Qにおける接線を$\ell$，点Pから$x$軸に下ろした垂線と$\ell$との交点をHとし，Qの$x$座標を$t$とする．$0 \leqq x \leqq a$の範囲で曲線$C$より下，かつ，直線$\ell$より上の部分の面積を$S(t)$とするとき，$0<t<a$における$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．

$xy$平面上の曲線$C:y=\log x$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．

$x>0$において関数
\[ f(x)=\sin (\log x) \]
を考える．\\
方程式$f(x)=0$の$0<x \leqq 1$における解を大きいほうから順にならべて，
\[ 1=\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3>\cdots > \alpha_n>\alpha_{n+1} > \cdots \]
とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．

(1)不定積分$I(x),\ J(x)$をそれぞれ
\[ I(x)=\int e^x \sin x \, dx,\quad J(x)=\int e^x \cos x \, dx \]
とおくとき，$I(x)+J(x),\ I(x)-J(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\alpha_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(4)区間$\alpha_{n+1} \leqq x \leqq \alpha_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$S_n$を求めよ．
(5)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を求めよ．

直線$\ell:y=2x$の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}=(a,\ b)$とし，点P$(x,\ y)$と直線$\ell$との距離を$h$とする．ただし，$|\overrightarrow{n}|=1$で，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．

以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．

\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)$は$f(0)=b$をみたし，その導関数は
\[ f^\prime(x)=(x-1)(x-a) \]
であるとする．ただし，$a$と$b$は定数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ b)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の整式で表せ．
(3)$f(x)$の極大値が$40$，極小値が$4$であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．

関数$f(x)=3\sin x-\sin 3x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフは直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$に関して対称になることを示せ．
(2)$0<x<\pi$のとき，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$上の点Pから曲線$y=x^2$にひいた2接線の接点をQ，Rとし，$\theta=\angle \text{QPR}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)Pの$x$座標を$t$としPを$\ell$上動かす．$t \neq 0$のとき，$\tan \theta$を$t$の関数として表せ．
(2)$\theta$の最大値を求め，このときの点Pの座標を求めよ．

$k=1,\ 2$に対して放物線$y=x^2-kx+1$を$C_k$で表す．点A$(1,\ 1)$での$C_1$の接線に，点Aで直交している直線を$\ell$とし，$\ell$と$C_2$の交点のうち$x$座標が正となる点をBとする．次の各問に答えよ．

(1)点Bの座標を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と線分ABで囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C_1$は媒介変数$t$を用いて
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．また，曲線$C_2$は
\[ x=t-\sin t,\quad y=1+\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$は直線$y=1$に関して対称であることを示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．