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琉球大学 国立 琉球大学 2014年 第4問
$1$個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行う.景品は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類あり,次の規則にしたがって景品をもらえるとする.
\begin{itemize}
出た目の数が$6$のときは,景品$\mathrm{A}$をもらえる.
出た目の数が$4,\ 5$のときは,景品$\mathrm{B}$をもらえる.
出た目の数が$1,\ 2,\ 3$のときは,景品はもらえない.
景品$\mathrm{A}$と景品$\mathrm{B}$の$2$種類とももらうことができたらゲームは終了する.
\end{itemize}
ちょうど$n$回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を$p_n$とする.次の問いに答えよ.

(1)$p_2$の値を求めよ.
(2)$n$を$2$以上の整数とする.$p_n$を$n$を用いて表せ.
(3)$n$を$2$以上の整数とする.不等式
\[ p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) \]
を示せ.ただし,$p_1=0$とする.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2012年 第7問
1個買うごとに景品を1個もらえる商品がある.景品は全部で$n$種類あり,それぞれ1から$n$までの番号がつけてある.また,1から$n$までの数字が1つずつ記入された$n$枚のカードがある.$n$枚のカードは外から数字が見えない箱の中に入れてあり,購入した商品1個ごとに箱の中から1枚引いて数字を確認して景品と交換する.引いたカードは,そのつど箱に戻すものとする.もらえる景品の番号は,引いたカードの数字と同じ番号のものとする.このとき,次の各問いに答えよ.

(1)この商品を$m$個購入したとき,番号1の景品が少なくとも1個もらえる確率を求めよ.ただし,$m>n$とする.
(2)この商品を$n$個購入したとき,全種類の景品がそろわない確率を求めよ.
(3)この商品を$n+1$個購入したとき,全種類の景品がもらえる確率を求めよ.
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「景品」とは・・・

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