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私立 日本女子大学 2012年 第4問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がじゃんけんを繰り返すゲームをする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$2$回多く勝った時点でゲームは終了とする．$1$回のじゃんけんで$\mathrm{A}$が勝つ確率，$\mathrm{B}$が勝つ確率，あいこの確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{3}$である．自然数$n$に対して，じゃんけんを$n$回行った時点でちょうどゲームが終了となる確率を$p_n$とおく．また，じゃんけんを$n$回行った時点で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$1$回多く勝っている確率を$q_n$とおき，ともに同じ回数だけ勝っている確率を$r_n$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ q_1$および$r_1$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$p_n$を$q_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$n \geqq 2$のとき，$q_n,\ r_n$のそれぞれを$q_{n-1}$と$r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 2$のとき$q_n+kr_n=l(q_{n-1}+kr_{n-1})$を満たす実数$k,\ l$の値を$2$組求めよ．
(5)$(4)$で求めた$k,\ l$の値の$2$組を$k_1,\ l_1$と$k_2,\ l_2$とおく．ただし$k_1<k_2$とする．数列$\{q_n+k_1r_n\}$，数列$\{q_n+k_2r_n\}$，数列$\{q_n\}$，数列$\{r_n\}$の一般項をそれぞれ$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．
(6)数列$\{p_n\}$の一般項を$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．
(1)$p_1,\ q_1$および$r_1$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$p_n$を$q_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$n \geqq 2$のとき，$q_n,\ r_n$のそれぞれを$q_{n-1}$と$r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 2$のとき$q_n+kr_n=l(q_{n-1}+kr_{n-1})$を満たす実数$k,\ l$の値を$2$組求めよ．
(5)$(4)$で求めた$k,\ l$の値の$2$組を$k_1,\ l_1$と$k_2,\ l_2$とおく．ただし$k_1<k_2$とする．数列$\{q_n+k_1r_n\}$，数列$\{q_n+k_2r_n\}$，数列$\{q_n\}$，数列$\{r_n\}$の一般項をそれぞれ$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．
(6)数列$\{p_n\}$の一般項を$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．
国立 神戸大学 2011年 第3問袋の中に0から4までの数字のうち1つが書かれたカードが1枚ずつ合計5枚入っている．4つの数$0,\ 3,\ 6,\ 9$をマジックナンバーと呼ぶことにする．次のようなルールをもつ，1人で行うゲームを考える．\\
\quad ルール：袋から無作為に 1 枚ずつカードを取り出していく．ただし，一度取
り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出したカードの数字の合計がマ
ジックナンバーになったとき，その時点で負けとし，それ以降はカードを取り出
さない．途中で負けとなることなく，すべてのカードを取り出せたとき，勝ちと
する．以下の問に答えよ．
(1)2枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(2)3枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(3)このゲームで勝つ確率を求めよ．
\quad ルール：袋から無作為に 1 枚ずつカードを取り出していく．ただし，一度取
り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出したカードの数字の合計がマ
ジックナンバーになったとき，その時点で負けとし，それ以降はカードを取り出
さない．途中で負けとなることなく，すべてのカードを取り出せたとき，勝ちと
する．以下の問に答えよ．
(1)2枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(2)3枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(3)このゲームで勝つ確率を求めよ．
私立 立教大学 2011年 第2問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名が次のようなルールのゲームを行った．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．
国立 神戸大学 2010年 第4問$N$を自然数とする．赤いカード2枚と白いカード$N$枚が入っている袋から無作為にカードを1枚ずつ取り出して並べていくゲームをする．2枚目の赤いカードが取り出された時点でゲームは終了する．赤いカードが最初に取り出されるまでに取り出された白いカードの枚数を$X$とし，ゲーム終了時までに取り出された白いカードの総数を$Y$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$X=n$となる確率$p_n$を求めよ．
(2)$X$の期待値を求めよ．
(3)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$Y=n$となる確率$q_n$を求めよ．
(1)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$X=n$となる確率$p_n$を求めよ．
(2)$X$の期待値を求めよ．
(3)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$Y=n$となる確率$q_n$を求めよ．
国立 浜松医科大学 2010年 第4問ある感染症の対策について考える．感染症の防御のためには感染拡大の試算が必要であり，感染拡大は自然にはその感染症の感染力と，致死性によって予測される．感染経路は，飛沫，接触，飲食などいろいろあり，感染力の制御，つまり感染を広げないために，ワクチン開発はもちろんであるが，外出規制（イベントの自粛や学級閉鎖など），手洗い呼びかけ，などが有効である． \\
ここでは簡単のために，$1$つの感染症のみを考え，ある一定の集団（たとえば$1000$人程度の島）を対象とし，外部との接触，出入りがないと仮定する．最初の時点での過去感染者，未感染者，現在感染者の割合をそれぞれ$x_0,\ y_0,\ z_0$とする．現在感染者は$1$か月後にはすべて過去感染者となり，一度感染した人はもう感染しない．また幸いなことにこの感染により死者は生じず，また簡単のために他要因による死者，あるいは出生，転入出もないとする． \\
$1$か月ごとの変動を見ることとし，$i$か月後の時点の上記の割合をそれぞれ$x_i,\ y_i,\ z_i$で示す．症状は丁度$1$か月続くので，一人の人が現在感染者として数えられるのは$1$回のみである． \\
過去感染者は，それまでの過去感染者に，$1$か月前の現在感染者を足したものである．また，現在感染者は，$1$か月前の未感染者と$1$か月前の現在感染者の接触頻度と，この感染症の感染力によって決まる．接触頻度の係数を$a$，感染力の係数を$b$とすると，現在感染者の割合は$1$か月前の現在感染者の割合，未感染者の割合，$a,\ b$の$4$つをかけたもので求められる． \\
$x_0=0$，$y_0=0.9$，$z_0=0.1$として，以下の問いに答えよ．計算は小数点以下第$4$位を四捨五入して求めよ．
(1)$x_i,\ y_i,\ z_i$を，$x_{i-1},\ y_{i-1},\ z_{i-1},\ a,\ b$で表せ．
(2)$a=1,\ b=1$として，$x_1,\ y_1,\ z_1,\ x_2,\ y_2,\ z_2,\ x_3,\ y_3,\ z_3$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=1$，感染力の係数$b$を$2$とした時の$x_1,\ x_2,\ x_3$を求めよ．
(4)手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして，$a=0.5$，$b=1$とした時の，$x_1,\ x_2,\ x_3$を求め，(2)，(3)の結果と共に，縦軸を過去感染者の割合，横軸を時間として，$3$つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ．
ここでは簡単のために，$1$つの感染症のみを考え，ある一定の集団（たとえば$1000$人程度の島）を対象とし，外部との接触，出入りがないと仮定する．最初の時点での過去感染者，未感染者，現在感染者の割合をそれぞれ$x_0,\ y_0,\ z_0$とする．現在感染者は$1$か月後にはすべて過去感染者となり，一度感染した人はもう感染しない．また幸いなことにこの感染により死者は生じず，また簡単のために他要因による死者，あるいは出生，転入出もないとする． \\
$1$か月ごとの変動を見ることとし，$i$か月後の時点の上記の割合をそれぞれ$x_i,\ y_i,\ z_i$で示す．症状は丁度$1$か月続くので，一人の人が現在感染者として数えられるのは$1$回のみである． \\
過去感染者は，それまでの過去感染者に，$1$か月前の現在感染者を足したものである．また，現在感染者は，$1$か月前の未感染者と$1$か月前の現在感染者の接触頻度と，この感染症の感染力によって決まる．接触頻度の係数を$a$，感染力の係数を$b$とすると，現在感染者の割合は$1$か月前の現在感染者の割合，未感染者の割合，$a,\ b$の$4$つをかけたもので求められる． \\
$x_0=0$，$y_0=0.9$，$z_0=0.1$として，以下の問いに答えよ．計算は小数点以下第$4$位を四捨五入して求めよ．
(1)$x_i,\ y_i,\ z_i$を，$x_{i-1},\ y_{i-1},\ z_{i-1},\ a,\ b$で表せ．
(2)$a=1,\ b=1$として，$x_1,\ y_1,\ z_1,\ x_2,\ y_2,\ z_2,\ x_3,\ y_3,\ z_3$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=1$，感染力の係数$b$を$2$とした時の$x_1,\ x_2,\ x_3$を求めよ．
(4)手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして，$a=0.5$，$b=1$とした時の，$x_1,\ x_2,\ x_3$を求め，(2)，(3)の結果と共に，縦軸を過去感染者の割合，横軸を時間として，$3$つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ．
私立 学習院大学 2010年 第4問袋の中に赤球$5$個と白球$4$個が入っている．この袋から球を$1$個ずつ取り出していき，赤，白どちらかの球が先に$3$個取り出されたところで終了する．ただし，取り出した球は袋に戻さない．終了時点で取り出されている球の総数を$X$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$X=5$となる確率を求めよ．
(2)$X$の期待値を求めよ．
(1)$X=5$となる確率を求めよ．
(2)$X$の期待値を求めよ．
私立 日本福祉大学 2010年 第1問テーマパークで午前$9$時から入場券を$1$つの窓口で売りはじめ，午前$9$時の時点で窓口の客を除いて$100$人の行列があった．その後，一定の間隔で毎分$20$人の来客があり，午前$9$時$20$分には行列が$300$人となった．ただし，客$1$人あたりの窓口での入場券購入時間は一定とし，行列には窓口で入場券を買っている客は含まないものとする．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．
私立 日本福祉大学 2010年 第1問テーマパークで午前$9$時から入場券を$1$つの窓口で売りはじめ，午前$9$時の時点で窓口の客を除いて$100$人の行列があった．その後，一定の間隔で毎分$20$人の来客があり，午前$9$時$20$分には行列が$300$人となった．ただし，客$1$人あたりの窓口での入場券購入時間は一定とし，行列には窓口で入場券を買っている客は含まないものとする．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．