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国立 東京大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(3)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(3)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
国立 東京大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第3問$3$が書かれたカードが$10$枚，$5$が書かれたカードが$10$枚，$10$が書かれたカードが$10$枚，全部で$30$枚のカードが箱の中にある．この中から$1$枚ずつカードを取り出していき，取り出したカードに書かれている数の合計が$10$以上になった時点で操作を終了する．ただし各カードには必ず$3,\ 5,\ 10$いずれかの数が$1$つ書かれているものとし，取り出したカードは箱の中に戻さないものとする．次の問いに答えよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第3問$3$が書かれたカードが$10$枚，$5$が書かれたカードが$10$枚，$10$が書かれたカードが$10$枚，全部で$30$枚のカードが箱の中にある．この中から$1$枚ずつカードを取り出していき，取り出したカードに書かれている数の合計が$10$以上になった時点で操作を終了する．ただし各カードには必ず$3,\ 5,\ 10$いずれかの数が$1$つ書かれているものとし，取り出したカードは箱の中に戻さないものとする．次の問いに答えよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
国立 北海道大学 2015年 第4問初めに赤玉$2$個と白玉$2$個が入った袋がある．その袋に対して以下の試行を繰り返す．
(i) まず同時に$2$個の玉を取り出す．
(ii) その$2$個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉$2$個を袋に入れる．
(iii) 最後に白玉$1$個を袋に追加してかき混ぜ，$1$回の試行を終える．
$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を$X_n$とする．
(1)$X_1=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_2=3$となる確率を求めよ．
(3)$X_2=3$であったとき，$X_1=3$である条件付き確率を求めよ．
(i) まず同時に$2$個の玉を取り出す．
(ii) その$2$個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉$2$個を袋に入れる．
(iii) 最後に白玉$1$個を袋に追加してかき混ぜ，$1$回の試行を終える．
$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を$X_n$とする．
(1)$X_1=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_2=3$となる確率を求めよ．
(3)$X_2=3$であったとき，$X_1=3$である条件付き確率を求めよ．
国立 佐賀大学 2015年 第3問正方形の$4$個の頂点を，時計回りに順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．頂点$\mathrm{A}$から出発して頂点上を時計回りに点$\mathrm{P}$を進めるゲームを行う．硬貨を$1$回投げるごとに，表が出たときには頂点$1$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出たときには頂点$2$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進めるものとする．ただし，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にとまった時点でゲームは終わるものとする．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
国立 佐賀大学 2015年 第4問正方形の$4$個の頂点を，時計回りに順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．頂点$\mathrm{A}$から出発して頂点上を時計回りに点$\mathrm{P}$を進めるゲームを行う．硬貨を$1$回投げるごとに，表が出たときには頂点$1$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出たときには頂点$2$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進めるものとする．ただし，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にとまった時点でゲームは終わるものとする．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．