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名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2012年 第4問
曲線$C:y=(\log x-2 \log 2) \log x$について次の問いに答えよ.

(1)関数の増減と凹凸を調べ,曲線$C$の概形をかけ.曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること.また,極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること.
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ.また,接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3)原点を$\mathrm{O}$とし,変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ.
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
藤田保健衛生大学 私立 藤田保健衛生大学 2011年 第4問
次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle m(x)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{x}{c^2}}}$とする.ただし$m_0,\ c$は正の定数である.また$c^2$より十分小さい正の定数$\varepsilon$に対して$0<x<\varepsilon$とする.

(i) $m^\prime(x)=[ ]$である.
(ii) $m(x)-m_0$を平均値の定理を用いて表すと$[$*$]$である.ただし$*$を書き表わす際,新たに必要となる実数があれば$k$を用い,$k$が満たすべき条件も明記せよ.
(iii) $\varepsilon \to 0$とすると$*$の値は$[ ]$に近づく.

(2)$a,\ b$を正の実数とするとき,積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\{ax+b(1-x)\}^2} \, dx$の値は$[ ]$である.またこの値を$a$について微分すると,$[ ]$となる.
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2010年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)方程式$x^2-xy-4x+2y+3=0$が表す曲線の概形を描け.その曲線が$x$軸および$y$軸と交差する場合にはその交点の座標を明記すること.また,漸近線が存在する場合には,その漸近線も描き,その式を明記すること.
(2)(1)で描かれた曲線と$x$軸および$y$軸で囲まれる図形をA,また(1)で描かれた曲線が$x$軸と$y$軸で交わる点を結んでできる図形をBとする.領域$A \cap B$の面積を求めよ.
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