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香川大学 国立 香川大学 2015年 第5問
(旧課程履修者)行列$A,\ E$を$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$,$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし,$a,\ b$を$a^2+b^2 \neq 0$を満たす実数とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)$A^2$を求めよ.
(2)$X=aA+bE$の逆行列$X^{-1}$を求めよ.
(3)$B^2=-E$を満たす任意の$2$次の正方行列$B$について,$(aB+bE)(-aB+bE)=sB+tE$となる実数$s,\ t$を$a,\ b$を用いて表せ.
(4)$(3)$の$B$に対して$Y=aB+bE$とおくとき,$pB+qE$が$Y$の逆行列$Y^{-1}$と等しくなるような実数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ.
学習院大学 私立 学習院大学 2015年 第5問
(旧課程履修者)$2$次正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -1 \\
4 & -2
\end{array} \right) \]
に対して,数列$\{x_n\}$,$\{y_n\}$を
\[ \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
1 \\
4
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.

(1)$\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right),\ \left( \begin{array}{c}
x_3 \\
y_3
\end{array} \right),\ \left( \begin{array}{c}
x_4 \\
y_4
\end{array} \right)$を求めよ.
(2)一般項$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$の式で表せ.
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