「既約分数」について
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私立 昭和大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)分母が$60$で，分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数（既約分数）は何個あるか．
(2)$3$つのさいころを同時に投げ，出た目の最大値を$m$とするとき，$m=5$となる確率を求めよ．ただし，$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ．
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ．
(1)分母が$60$で，分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数（既約分数）は何個あるか．
(2)$3$つのさいころを同時に投げ，出た目の最大値を$m$とするとき，$m=5$となる確率を求めよ．ただし，$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ．
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ．
国立 千葉大学 2013年 第2問$a,\ b$を$100$以下の正の整数とする．$2$つの分数$\displaystyle \frac{a}{27},\ \frac{31}{b}$がどちらも既約分数であり，かつ，和$\displaystyle \frac{a}{27}+\frac{31}{b}$が整数であるとする．このような$(a,\ b)$の組をすべて求めよ．
国立 東京工業大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2-3x+5=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$に対し，$\alpha^n+\beta^n-3^n$はすべての正の整数$n$について$5$の整数倍になることを示せ．
(2)$6$個のさいころを同時に投げるとき，ちょうど$4$種類の目が出る確率を既約分数で表せ．
(1)$2$次方程式$x^2-3x+5=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$に対し，$\alpha^n+\beta^n-3^n$はすべての正の整数$n$について$5$の整数倍になることを示せ．
(2)$6$個のさいころを同時に投げるとき，ちょうど$4$種類の目が出る確率を既約分数で表せ．
国立 豊橋技術科学大学 2013年 第4問$3$個のサイコロを同時に投げるとき，以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．
(1)$3$個のサイコロの目の積が奇数となる確率を求めよ．
(2)$3$個のサイコロの目の積が偶数となる確率を求めよ．
(3)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(4)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数で，かつ，奇数となる確率を求めよ．
(5)$3$個のサイコロの目の積または和が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(1)$3$個のサイコロの目の積が奇数となる確率を求めよ．
(2)$3$個のサイコロの目の積が偶数となる確率を求めよ．
(3)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(4)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数で，かつ，奇数となる確率を求めよ．
(5)$3$個のサイコロの目の積または和が$3$の倍数となる確率を求めよ．
私立 大同大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が点$(5,\ 8)$を通るとすると，$b=-[ ] a-[][]$である．さらに，$C$の頂点が$y$軸上にあるとき$a=[ ]$，$b=-[][]$であり，$C$の頂点が$x$軸上にあるとき$a=-[][] \pm [ ] \sqrt{[ ]}$である．
(2)$2a^2-ab-15b^2=([ ] a+[ ] b)(a-[ ] b)$である．$a=3 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}-2 \sqrt{2}$のとき，$2a^2-ab-15b^2=[][][] \sqrt{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=3$とするとき，$\displaystyle \cos A=-\frac{[ ]}{[][]}$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{[][]}$である．さらに，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{[ ] \sqrt{[][]}}{[ ]}$である．
(4)$1$から$20$までの整数の中から異なる$2$個の整数$a,\ b (a<b)$を選ぶとき，$a,\ b$の積が奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない選び方は$[][]$通りある．また，$a,\ b$の積が$3$の倍数でない奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない偶数になる選び方は$[][]$通りある．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が点$(5,\ 8)$を通るとすると，$b=-[ ] a-[][]$である．さらに，$C$の頂点が$y$軸上にあるとき$a=[ ]$，$b=-[][]$であり，$C$の頂点が$x$軸上にあるとき$a=-[][] \pm [ ] \sqrt{[ ]}$である．
(2)$2a^2-ab-15b^2=([ ] a+[ ] b)(a-[ ] b)$である．$a=3 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}-2 \sqrt{2}$のとき，$2a^2-ab-15b^2=[][][] \sqrt{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=3$とするとき，$\displaystyle \cos A=-\frac{[ ]}{[][]}$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{[][]}$である．さらに，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{[ ] \sqrt{[][]}}{[ ]}$である．
(4)$1$から$20$までの整数の中から異なる$2$個の整数$a,\ b (a<b)$を選ぶとき，$a,\ b$の積が奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない選び方は$[][]$通りある．また，$a,\ b$の積が$3$の倍数でない奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない偶数になる選び方は$[][]$通りある．
私立 大同大学 2013年 第2問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)$\displaystyle \frac{(\alpha+\beta)^3-(\alpha^3+\beta^3)}{\alpha+\beta}=[ ] \alpha\beta$である．$a=\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{36}$のとき$\displaystyle \frac{a^3-84}{a}=[][]$であり，$b=\sqrt[3]{10+\sqrt{19}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{19}}$のとき$\displaystyle \log_{81} \frac{b^3-20}{b}=\frac{[ ]}{[][]}$である．
(2)$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CD}=1$，$\mathrm{DA}=1$の台形$\mathrm{ABCD}$において$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\frac{[ ]}{[ ]}$であり，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．さらに，台形$\mathrm{ABCD}$を底面にもつ四角錐$\mathrm{ABCDF}$の頂点$\mathrm{F}$から底面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線の足が$\mathrm{E}$と一致し$\mathrm{EF}=2$であるとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\frac{[][]}{[ ]}$である．
(1)$\displaystyle \frac{(\alpha+\beta)^3-(\alpha^3+\beta^3)}{\alpha+\beta}=[ ] \alpha\beta$である．$a=\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{36}$のとき$\displaystyle \frac{a^3-84}{a}=[][]$であり，$b=\sqrt[3]{10+\sqrt{19}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{19}}$のとき$\displaystyle \log_{81} \frac{b^3-20}{b}=\frac{[ ]}{[][]}$である．
(2)$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CD}=1$，$\mathrm{DA}=1$の台形$\mathrm{ABCD}$において$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\frac{[ ]}{[ ]}$であり，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．さらに，台形$\mathrm{ABCD}$を底面にもつ四角錐$\mathrm{ABCDF}$の頂点$\mathrm{F}$から底面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線の足が$\mathrm{E}$と一致し$\mathrm{EF}=2$であるとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\frac{[][]}{[ ]}$である．
私立 大同大学 2013年 第6問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$，さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする．$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[][]}$であり，$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする．
$n^3$を$9$で割った余りは$[ ]$または$[ ]$（ただし$[ ]<[ ]$）であり，$n^9$を$27$で割った余りは$[ ]$または$[][]$である．
(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$，さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする．$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[][]}$であり，$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする．
$n^3$を$9$で割った余りは$[ ]$または$[ ]$（ただし$[ ]<[ ]$）であり，$n^9$を$27$で割った余りは$[ ]$または$[][]$である．
私立 早稲田大学 2013年 第6問数列
\[ \{a_n\}:\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6},\ \cdots \]
がある．この数列$\{a_n\}$を
\[ \frac{1}{2} \;\biggl|\; \frac{1}{3},\ \frac{2}{3} \;\biggl|\; \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4} \;\biggl|\; \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5} \;\biggl|\; \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6} \;\biggl|\; \cdots \]
のように群に分けると，第$k$群は，初項$\displaystyle \frac{1}{k+1}$，末項$\displaystyle \frac{k}{k+1}$，公差$\displaystyle \frac{1}{k+1}$の等差数列である．
(1)数列$\{a_n\}$の各項を既約分数で表したとき，分子が$1$となる分数が$4$つ連続して初めて現れるのは，$\displaystyle \frac{1}{[ノ]}$からの$4$つの項である．
(2)数列$\{a_n\}$の第$1$群の初項から，第$m$群の末項までの和は，
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{m}{m+1}=\frac{[ハ]}{[ヒ]}m^{\mkakko{フ}}+\frac{[ヘ]}{[ホ]}m \]
である．
\[ \{a_n\}:\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6},\ \cdots \]
がある．この数列$\{a_n\}$を
\[ \frac{1}{2} \;\biggl|\; \frac{1}{3},\ \frac{2}{3} \;\biggl|\; \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4} \;\biggl|\; \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5} \;\biggl|\; \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6} \;\biggl|\; \cdots \]
のように群に分けると，第$k$群は，初項$\displaystyle \frac{1}{k+1}$，末項$\displaystyle \frac{k}{k+1}$，公差$\displaystyle \frac{1}{k+1}$の等差数列である．
(1)数列$\{a_n\}$の各項を既約分数で表したとき，分子が$1$となる分数が$4$つ連続して初めて現れるのは，$\displaystyle \frac{1}{[ノ]}$からの$4$つの項である．
(2)数列$\{a_n\}$の第$1$群の初項から，第$m$群の末項までの和は，
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{m}{m+1}=\frac{[ハ]}{[ヒ]}m^{\mkakko{フ}}+\frac{[ヘ]}{[ホ]}m \]
である．
国立 九州大学 2012年 第4問いくつかの玉が入った箱Aと箱Bがあるとき，次の試行Tを考える．\\
(試行T) \quad 箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ，その後，箱Bから2個の玉を取り出して箱Aに入れる．\\
最初に箱Aに黒玉が3個，箱Bに白玉が2個入っているとき，以下の問いに答えよ．
(1)試行Tを1回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$p_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(2)試行Tを2回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$q_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(3)試行Tを3回行ったときに，箱Aの中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ．
(試行T) \quad 箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ，その後，箱Bから2個の玉を取り出して箱Aに入れる．\\
最初に箱Aに黒玉が3個，箱Bに白玉が2個入っているとき，以下の問いに答えよ．
(1)試行Tを1回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$p_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(2)試行Tを2回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$q_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(3)試行Tを3回行ったときに，箱Aの中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ．
国立 九州大学 2012年 第5問いくつかの玉が入った箱Aと箱Bがあるとき，次の試行Tを考える．
\begin{eqnarray}
\text{(試行T)} & & \text{箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ，その後，} \nonumber \\
& & \text{箱Bから2個の玉を取り出して箱Aに入れる．} \nonumber
\end{eqnarray}
最初に箱Aに黒玉が3個，箱Bに白玉が2個入っているとき，以下の問いに答えよ．
(1)試行Tを1回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$p_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(2)試行Tを2回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$q_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(3)試行Tを3回行ったときに，箱Aの中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ．
\begin{eqnarray}
\text{(試行T)} & & \text{箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ，その後，} \nonumber \\
& & \text{箱Bから2個の玉を取り出して箱Aに入れる．} \nonumber
\end{eqnarray}
最初に箱Aに黒玉が3個，箱Bに白玉が2個入っているとき，以下の問いに答えよ．
(1)試行Tを1回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$p_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(2)試行Tを2回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$q_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(3)試行Tを3回行ったときに，箱Aの中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ．