$xy$平面上の曲線$C:y=\log x$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．

4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．
\begin{screen}
自然数$k,\ l,\ m$が次の条件

\mon[(イ)] $k$と$l$は1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)] $k$は$lm$の約数である

を満たすならば，$k$は$m$の約数である．
\end{screen}

(1)$a,\ b,\ c,\ d$は整数で，$d \neq 0$とする．次の方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \]
が有理数の解$r$をもつとき，$|\,r\,|$は自然数であり，かつ$|\,d\,|$の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
\[ 2x^4-2x-1=0 \]
の実数解はすべて無理数であることを証明せよ．