次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_{-2}^1 x \sqrt{x+3} \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx=[ロ]$

(2)$2$つの放物線$y=4x^2$と$y=(x-1)^2$で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．
(3)$\sqrt{-2} \, \sqrt{-3}=[ニ]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ホ]$である．
(5)$0 \leqq x \leqq \pi$において$\displaystyle \sin 2x-\frac{1}{2}=\sin x-\cos x$のとき，$x=[ヘ]$である．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく用いて作られる$5$桁の整数を小さい順に並べる．初めて$20000$以上になる整数は$[ト]$で，それは$[チ]$番目である．

$2$つの円$C_1:x^2+y^2=16$と$C_2:x^2+(y-8)^2=4$があるとき，以下の各問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の本数を答えよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の方程式をすべて求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の交点のうち，原点から最も遠い交点の座標を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)$\log x$の不定積分，および$(\log x)^2$の不定積分を求めなさい．
(2)曲線$y=\log x$上の点$(e^2,\ 2)$における接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)曲線$y=\log x$と$(2)$で求めた接線$\ell$，および$x$軸で囲まれた図形を$S$とする．$S$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$5$点$\mathrm{A}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 4)$をとる．中心が$\mathrm{D}$，半径が$2$の球面を$S$とし，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$S$が$\alpha$と交わってできる図形を$F$とする．$\mathrm{D}$から$\alpha$に垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha$に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．
(2)$F$は$\mathrm{H}$を中心とする円であることを示せ．
(3)$F$の半径と中心の座標を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$は$F$上を動く点とし，直線$\mathrm{EP}$と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}(s,\ t,\ 0)$とする．このとき，$s,\ t$が満たす方程式を求めよ．

次の空欄$[ナ]$から$[ヘ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

ゆがんだサイコロがあり，各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである．

確率分布表 \quad
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
目 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
確率 & $\displaystyle\frac{1}{9}$ & $\displaystyle\frac{4}{45}$ & $p$ & $q$ & $\displaystyle\frac{1}{35}$ & $r$ \\ \hline
\end{tabular}

また，このサイコロを$6$回投げたとき，次のような$2$つのデータ$(ⅰ)$，$(ⅱ)$が残った．
データ$(ⅰ) \cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が$\displaystyle \frac{4}{27}$であった．
データ$(ⅱ) \cdots$出る目の期待値が$\displaystyle \frac{1153}{315}$であった．
このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{1}{35}<\frac{4}{45}<\frac{1}{9}<q<r<p<\frac{2}{3}$とする．
まず，確率分布表から，$p+q+r=[ナ] \cdots\cdots ①$である．
次に，データ$(ⅰ)$は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから，
\[ [ニ]=\frac{4}{27} \]
となる．
これより，次の$2$次方程式が得られる．
\[ [ヌ]=0 \]
条件より，$\displaystyle p<\frac{2}{3}$だから，$p=[ネ]$である．すると$①$から，
\[ q+r=[ノ] \cdots\cdots② \]
となる．
データ$(ⅱ)$から，期待値の式を$p,\ q,\ r$を用いて表せば，
\[ [ハ]=\frac{1153}{315} \]
である．
ゆえに，$p=[ネ]$を適用して，
\[ 2q+3r=[ヒ] \cdots\cdots③ \]
となる．$②$と$③$を連立して，$q=[フ]$，$r=[ヘ]$を得る．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=x \log x-\tan x$について，曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{4},\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．

(2)定積分$\displaystyle A=\int_0^\pi e^{-ax} \cos 2x \, dx$を求めよ．ただし，$a \neq 0$とする．

(3)定積分$\displaystyle B=\int_0^\pi e^{-ax} \sin^2 x \, dx$，$\displaystyle C=\int_0^\pi e^{-ax} \cos^2 x \, dx$を求めよ．ただし，$a \neq 0$とする．

関数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$（$x$は実数）について，以下の問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(0,\ 3)$を通るものすべての方程式を求めよ．また，その求め方を説明せよ．
(2)点$(1,\ 3)$を通る傾き$a$の直線と曲線$y=f(x)$が$3$点で交わるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．また，その求め方を説明せよ．

関数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定数$k$について，方程式$f(x)-k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列である．答えを導く過程も示すこと．

(1)行列$A$に対して，等式$A^2-5A+5E=O$が成り立つことを示せ．
(2)行列$B$について，$B=A^4-3A^3-3A^2+2A+9E$のとき，行列$B$を求めよ．
(3)行列$A$の表す$1$次変換によって，直線$2x-y+1=0$上の点を移す．このとき，像を表す図形の方程式を求めよ．

$a$を正の定数とし，$f(x)=ae^{-ax}$とする．ただし，$e$を自然対数の底とする．原点を$\mathrm{O}$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$における接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)接線$\ell$の方程式と$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における接線と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)$s$の値が$s \geqq 0$の範囲で変化するとき，三角形$\mathrm{ROQ}$の面積$T(s)$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．