$\theta$についての方程式
\[ \sin^2 \theta (\sin \theta+1)=k \cdots\cdots① \]
を考える．

(1)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲でただ$1$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ \frac{[ア]}{[イ][ウ]}<k \leqq [エ] \]
である．
(2)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で異なる$2$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ [オ]<k \leqq \frac{[カ]}{[キ]} \]
である．

放物線$C:y^2=4px (p>0)$の焦点$\mathrm{F}(p,\ 0)$を通る$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$は互いに直交し，$C$と$\ell_1$は$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$で，$C$と$\ell_2$は$2$点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$で交わるとする．次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$の方程式を$x=ay+p$と置き，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標をそれぞれ$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とする．$y_1+y_2$，$y_1y_2$を$a$と$p$で表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2}+\frac{1}{\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2}$は$\ell_1$，$\ell_2$のとり方によらず一定であることを示せ．

次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公比$2$の等比数列，数列$\{b_n\}$を初項$2$，公差$2$の等差数列とし，$c_n=a_nb_n$とする．

(i) $a_{10}=[ア]$である．
(ii) $b_n=a_{10}$のとき，$n=[イ]$である．
(iii) 数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，
\[ S_n=4 \left\{ 2^n([ウ])+1 \right\} \]
である．

(2)$x$についての$3$次方程式
\[ x^3+(a-3)x^2+(-2a+b+3)x+a-b-15=0 \]
の$1$つの解が$3+\sqrt{3}i$であるとき，実数の定数$a,\ b$の値は$a=[エ]$，$b=[オ]$で，$3+\sqrt{3}i$以外の解は，$[カ]$と$[キ]$である．

$2$つの曲線$y=x^3-x \cdots\cdots①$および$y={(x-a)}^3-(x-a) \cdots\cdots②$がある．ただし，$a>0$とする．次の問に答えよ．

(1)$②$が$x=x_1$で極大値，$x=x_2$で極小値をとり，$x=x_1,\ x_2$における曲線$②$上の点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(2)曲線$①,\ ②$が異なる$2$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$のとき，曲線$①,\ ②$の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha$を$a$を用いて表せ．
(4)$(2)$のとき，曲線$①,\ ②$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．

座標平面上に放物線$C:y=ax^2+1$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．ただし，$a>0$，$p>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a,\ p$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$，放物線$C$，および$y$軸で囲まれる部分の面積$S$を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と原点との距離が$1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

座標平面上に放物線$C:y=x^2+(2-a)x+3-a$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}(-1,\ 2)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が$x$軸の正の部分と交わり，かつ$y$軸の正の部分と交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$の値が$(2)$で求めた範囲にあるとする．$x$軸，$y$軸，直線$\ell$で囲まれる三角形の面積を$S_1$とし，また，$y$軸，直線$\ell$，放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1=3S_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

次の空欄$[ア],\ [イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ある自然数$n$について，命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$，対偶は$[イ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である．
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき，$\theta=[カ]$である．ただし，$0 \leqq \theta<\pi$とする．
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である．
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した．スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き，その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ，平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった．このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく，なす角が${60}^\circ$のとき，$x$の値は$[コ]$，$[サ]$である．
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと，$[シ]$となる．

座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，点$\mathrm{B}(0,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}(x,\ y)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=0$を満たしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PA}$の長さが$\sqrt{2}$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x>0$，$y=1$であるとき，$\angle \mathrm{AMP}$を求めよ．

座標平面上に曲線$C:y=x^2 (x \geqq 0)$がある．この曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$とする．ただし，$t>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)曲線$C$，直線$\ell$，$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)直線$m$の方程式を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$m$，$y$軸で囲まれた部分の面積を$T$とする．$T$を$t$を用いて表せ．
(5)$S:T=1:9$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$10$項までの和が$-8$，初項から第$21$項までの和が$14$である．この数列の初項$a_1$は$[ア]$で，公差は$[イ]$である．
(2)$2 \log_3 4+\log_9 5-\log_3 8=\log_3 x$の解は$x=[ウ]$である．

(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[エ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$となる自然数の組$(x,\ y)$で$x \geqq y$を満たすものをすべてあげると$(x,\ y)=[オ]$である．
(5)正の数$k$と角$\theta$に対して，$\sin \theta,\ \cos \theta$が$2$次方程式$5x^2-kx+2=0$の解となるような$k$の値は$[カ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{1+\sqrt{3}}$であるとき，$\cos C$の値は$[キ]$である．
(7)整式$P(x)$を$2x^2+9x-5$で割ると余りが$3x+5$であり，$x-2$で割ると余りが$-3$であるとき，$P(x)$を$x^2+3x-10$で割ると，余りは$[ク]$である．
(8)座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{D}(x,\ y,\ z)$がある．これら$4$点が同一平面上にあり，かつこれらを頂点とする四角形がひし形であるのは，$(x,\ y,\ z)=[ケ]$のときである．