$x$の整式$f(x)$と$g(x)$が
\[ f(x)=x \int_0^1 g(t) \, dt+\int_{-1}^1 g(t) \, dt+1,\quad g(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
を満たすとき，
\[ f(x)=\frac{[　]}{[　]}x+\frac{[　]}{[　]},\quad g(x)=\frac{[　]}{[　]}x^2+\frac{[　]}{[　]}x \]
である．さらに，方程式$f(x)-g(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，

$\displaystyle \int_\alpha^\beta \{f(x)-g(x)\} \, dx=\frac{[][] \sqrt{[][]}}{[][]}$，

$\displaystyle \int_\alpha^\beta \{f(x)+g(x)\} \, dx=\frac{[][] \sqrt{[][]}}{[][]}$

である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$a,\ b$を定数とする．座標平面において，$x^2+y^2+ax+by=0$は中心を点$([　],\ [　])$とする半径$[　]$の円の方程式である．サイコロを$2$度投げ，最初に出た目を$a$とし，次に出た目を$b$とする．この円の内部の面積が$4 \pi$以下である確率は$[　]$である．また，この円が直線$x+y=a-b$と異なる$2$点で交わる確率は$[　]$である．
(2)$2013$を素因数分解すると$[　]$である．$x=[　]$，$y=0$は，方程式$11x+25y=2013$をみたす．$x,\ y$を共に$0$以上の整数とするとき，方程式$11x+25y=2013$をみたす$(x,\ y)$の組は全部で$[　]$組あり，それらの中で$x^2+y^2$の値が最大になるのは$x=[　]$，$y=[　]$のときである．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & -\cos \alpha
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & \sin \beta \\
\sin \beta & -\cos \beta
\end{array} \right) (0<\beta<\alpha<2\pi)$の積$AB$の$(1,\ 1)$成分は$\theta=\alpha-\beta$を用いて表すと$[　]$となり，$(1,\ 2)$成分は$\theta$を用いて表すと$[　]$となる．ここで点$\mathrm{P}_1(\sqrt{2},\ \sqrt{2})$が$AB$で表される$1$次変換によって点$\displaystyle \mathrm{P}_2 \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \right)$に移るとすると$\theta=[　]$となる．このとき，${(AB)}^{25}$で表される$1$次変換によって点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[　]$となり，$((AB)^{-1})^{2013}$で点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[　]$となる．
(2)関数$f(x)=(ax^2+bx)e^{-x^2}$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大値$1$をとるとする．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$であり，$f(x)>0$を満たす範囲は$0<x<[　]$となる．この区間で関数$g(x)=\log f(x)$を考える．曲線$C:y=g(x)$の点$\displaystyle \left( 1,\ -\frac{3}{4} \right)$における接線の方程式は$y=[　]$となり，曲線$C$と直線$y=k$が共有点をもたない$k$の値の範囲は$[　]$となる．

$2$つの曲線$y=2x^2-2$と$y=2x^2-4x+2$が共通の接線をもつとき，接線の方程式は$y=[$1$]$，$2$つの接点の$y$座標は$[$2$]$であり，$2$つの曲線と接線とで囲まれた部分の面積は$[$3$]$となる．

$\omega=1+i$とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$\displaystyle \frac{\overline{\omega}}{\omega}$を解としてもつとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．また，$3$次方程式$x^3+cx^2+dx+e=0$が解として$1$と$\omega^3$をもつとき，$c=[$6$]$，$d=[$7$]$，$e=[$8$]$である．ここで，$i$は虚数単位，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数である．

$a$を正の実数とする．関数$y=f(x)=2x^3-6a^2x$について，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のとき，関数$y=f(x)$上の点$(2,\ 4)$における接線の方程式を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフが原点に関して点対称であることを示せ．
(3)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が，再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$(-2x^2y)^2(-xy^2)^3(-3xy)^2$を計算せよ．
(2)$2x-|x+1|=3$を解け．
(3)正七角形の内角の和を求めよ．
(4)方程式$xy-3x-y+1=0$を満たす整数$(x,\ y)$の組をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$の分母を有理化して簡単にせよ．
(2)$x^3+x^2y-x^2z-xy^2-y^3+y^2z$を因数分解せよ．
(3)$1$冊$180$円のノートと$1$本$80$円の鉛筆をいくつか買い，代金の合計を$900$円以下にしたい．買い方は何通りあるか求めよ．ただし，ノートは$2$冊以上，鉛筆は$1$本以上買うものとする．
(4)$k$を実数とする$2$次方程式$x^2+x+k=0$の解が$\sin \theta$，$\cos \theta$で表されるとき，$k,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(5)$3 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1,\ 0)$，$\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}=(0,\ 1)$であるとき，$(3,\ -1)$を$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

関数$f(x)=x^3-3x^2+4$とする．$k$を実数とし，$y=f(x)$を$x$軸方向に$k$，$y$軸方向に$-4$だけ平行移動した曲線の方程式を$y=g(x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$g(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる$2$つの交点をもち，このうちどちらか一方の交点の$x$座標が$2$であるとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた値をとるとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

負の実数$a,\ b$は，$u$についての$2$次方程式$u^2-su+t=0$の解で，$a^3+b^3-2ab=-4$を満たしている．このとき，設問に答えなさい．

(1)$a+b,\ ab$および$a^3+b^3-2ab$を$s,\ t$を用いて表すと，
\[ a+b=[$1$],\quad ab=[$2$],\quad a^3+b^3-2ab=[$3$] \]
となる．
(2)以下の$s,\ t$に対する記述（イ），（ロ），（ハ）のうち正しいものを選び，その記号を解答欄に記入しなさい．

\mon[（イ）] $s,\ t$は$s>0$，$t>0$，$s^2-4t \geqq 0$を満たしている．
\mon[（ロ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2 \geqq 4t$を満たしている．
\mon[（ハ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2<4t$を満たしている．

(3)$a+b$のとりうる値の範囲を求めなさい．