方程式$2 \log_2 |x-4|+\log_2(x+8)=a$を考える．$a$は定数である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)この方程式が解$x=0$をもつとき$a=[ア]$である．
(2)$a=3+\log_25$のとき，この方程式の解$x$は
\[ x=[イ],\quad [ウエ] \pm [オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(3)この方程式の解$x$の個数がちょうど$2$個となるとき$a$の値は$a=[キ]$である．また，このときの解$x$は$x=[クケ]$，$[コ]$である．また$a=5 \log_23$のとき，この方程式の解$x$の個数はちょうど$[サ]$個である．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$|2x-3|+3=(x-3)^2$を解け．
(2)$21$本のくじの中に当たりくじが$n$本ある．このくじを同時に$2$本引くとき，次の問に答えよ．ただし，$1 \leqq n \leqq 21$とする．

(i) $2$本ともはずれる確率を求めよ．
(ii) 少なくとも$1$本は当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる最小の$n$を求めよ．

(3)$x,\ y$は実数とする．

命題$p$：「$x \neq 3$または$y \neq 2$」ならば「$2x-y \neq 4$または$x+y \neq 5$」

について次の問に答えよ．

(i) 命題$p$の対偶を述べよ．
(ii) 命題$p$を証明せよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$x=\sqrt{7}+3$，$y=\sqrt{7}-3$のとき，$xy=[$1$]$，$x^2+y^2=[$2$]$，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$3$]$である．
(2)$(x+9)^2-(x+9)-12$を因数分解すると$[$4$]$となる．
(3)連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x-3 \leqq 4x+6 \\
\displaystyle 3x+2 \leqq \frac{5x+3}{2}
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.3}
の解は$[$5$]$である．
(4)方程式$2x^2-kx+3=0$が実数解をもたないような定数$k$の値の範囲は$[$6$]$である．
(5)$a,\ b$を定数とし，$a>0$，$b>0$とする．関数$y=ax^2$のグラフに，$y$軸上の点$(0,\ -b)$から接線を引く．$2$つの接線のうち，傾きが正であるものを$\ell$とし，接線$\ell$と放物線$y=ax^2$の接点を点$\mathrm{P}$とする．このとき，接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{P}$の座標を$a$と$b$を用いて表すと，$\ell$の方程式は$[$7$]$，$\mathrm{P}$の座標は$[$8$]$となる．
(6)$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，点$(0,\ 5)$を通り，$C$上の点$(-1,\ f(-1))$における接線は，$y=-11x+3$である．このとき，$f(x)=[$9$]$である．また，放物線$C$の$x \leqq 2$の部分と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた部分の面積は$[$10$]$である．
(7)方程式$\displaystyle 5^{2x-3}-25^{x-1}+125^{\frac{2x}{3}}=121$の解は$[$11$]$である．

次の各設問に答えよ．

(1)$a,\ b$が有理数である$x^2+ax+b=0$の一つの解が$2+\sqrt{3}$であるとき方程式
\[ ax^2-7x+2b=0 \]
の解は$\displaystyle x=[アイ],\ \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$x$を実数とすると$\displaystyle x^2+\frac{100}{x^2+1}$の最小値は$[オカ]$であり，そのときの$x$の値は$[キク],\ [ケ]$である．
(3)$\mathrm{RISUKU}$の$6$文字をバラバラにして一列に並べるとき，$\mathrm{KUSURI}$という文字になる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サシス]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^3 (x+1) |x-2| \, dx$の値は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．

次の空欄$[　]$を適当に補え．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=7$，$\mathrm{AB}=3$，$\angle \mathrm{BAC}=120^\circ$のとき，$\mathrm{BC}=[ア]$である．
(2)方程式$3 \log_8x+\log_2(x-8)=7$を解くと，$x=[イ]$である．
(3)$3+i$をかけると$1+17i$となる複素数を，$a+bi$の形で表すと$[ウ]$である．ただし，$a,\ b$は実数，$i$は虚数単位である．
(4)$1$つのサイコロを$6$回投げて，$1$の目と$2$の目がそれぞれちょうど$2$回ずつ出る確率は$\displaystyle [エ]$である．

$y=4 \sin^2 \theta-3 \cos \theta+2a-1$とする．以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)$\cos \theta=t$とおいて，$y$を$t$で表し，それを$f(t)$とする．$f(t)$を求めよ．
(2)$t$の値のとりうる範囲を求めよ．
(3)$t$についての$2$次方程式$f(t)=0$の解の判別式を$a$で表せ．
(4)$t$についての$2$次方程式$f(t)=0$が，$(2)$で求めた範囲で異なる$2$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

曲線$C:y=x^3$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3)$における接線を$\ell$とする．$\ell$の$\mathrm{P}$とは異なる$C$との交点を$\mathrm{Q}$とし，$C$と$\ell$とで囲まれた部分を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$t>0$とする．

(1)接線$\ell$の方程式と，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の中点を通る直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の直線$m$により$S$は$2$つの部分に分けられる．$x$軸で$x>0$の一部を含む部分の面積を$s_1$とし，もう一方の面積を$s_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{s_1}{s_2}$を求めよ．

次の空欄を適当に補え．

(1)$x$が$x^2+x+1=0$を満たすとする．このとき$2x^4-x^3-2x^2-4x+2$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)方程式$3^{2x+1}+2^3 \cdot 3^x-3=0$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$2$つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$に対して，$2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$の大きさが$\sqrt{7}$のとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$t>0$とする．$3$次関数$y=x^3-3x^2-9x+t$のグラフと$x$軸との共有点がただ$1$つのとき，定数$t$の値の範囲は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$\mathrm{A}$を含む男子$4$人と$\mathrm{B}$を含む女子$5$人が$1$列に並ぶ．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．また，男子が隣り合わない確率は$[$(\mathrm{f])$}$である．
(6)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-3 \log (x+2)$の最小値は$[$(\mathrm{g])$}$である．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(x,\ 11,\ 2y)$，$\overrightarrow{b}=(x-4,\ 2,\ y-6)$を考える．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が平行であるとき，$x=[　]$であり，$y=[　]$である．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$x=[　]$であり，$y=[　]$である．
(2)方程式$\log_2(x^2+4)-\log_2x=2$を解くと，$x=[　]$である．また，不等式$\log_2(x^2+4)-\log_2x \geqq \log_25$を解くと，$[　]$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-(2a-1)x^2+3a(a-2)x-a(a-10)$を考える．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)不等式$f(0)>0$が成り立つような定数$a$の値の範囲を求めよ．また，$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極小値を$a$を用いて表せ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの異なる正の解と$1$つの負の解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．