$2$つの放物線
\[ \begin{array}{l}
C_1:y=x^2 \\
C_2:y=x^2-4x+8
\end{array} \]
がある．また，直線$\ell$が$C_1$と$C_2$の両方に接している．

(1)$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)$\ell$，$C_1$，$C_2$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=\log (1-x^2)$上のある点における接線の傾きが$-\sqrt{3}$のとき，その点の$x$座標を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{a}=(3^x,\ 3^{-x})$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0)$とする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，$x$の値を求めなさい．
(3)方程式$\displaystyle \cos \left( x+\frac{\pi}{6} \right)+\sin x=0$を解きなさい．

次の設問に答えよ．

(1)方程式$2^x8^x=4^{15}$を解け．
(2)方程式$\log_2 4+\log_2 x=0$を解け．
(3)不等式$\log_2 2x+\log_2 (x-7)<2 \log_2 (x-3)$を解け．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=2,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
各$n$に対して，$b_n$を$b_n=a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$とし，$c_n$を$2$次方程式$a_{n+2}x^2+a_{n+1}x-a_n=0$の解のうち大きいほうとする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n$を$a_n$と$a_{n+2}$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{a_ka_{k+1}}$を$c_n$を用いて表せ．

$2$次方程式$x^2+(\log_2 n)x+\log_3n=0$が実数解をもたない自然数$n$をすべて求めよ．ただし，$\log_23=1.58$，$\log_25=2.32$とする．

$xy$平面上に$2$曲線
\[ C_1:y=2x \sqrt{1-x^2},\quad C_2:y=\sqrt{1-x^2} \]
がある．$C_1$，$C_2$上に$2$点$\mathrm{P}_1(t,\ 2t \sqrt{1-t^2})$，$\mathrm{P}_2 (t,\ \sqrt{1-t^2}) (-1<t<1)$をとり，$\mathrm{P}_1$における$C_1$の接線$\ell_t$と，$\mathrm{P}_2$における$C_2$の接線$m_t$について考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$および$C_2$の概形を同じ$xy$平面上に描け．ただし，曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい．また，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$が一致するときの$t$の値を求めよ．
(2)$2$直線$\ell_t$と$m_t$が平行になるときの$t$がみたすべき条件を，$t$についての$2$次方程式で表し，その解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$を求めよ．
(3)$\ell_t$と$m_t$が交点をもつとき，その交点の$y$座標を$y_t$とする．

(i) $y_t$を$t$を用いて表せ．
(ii) $y_t>0$となる$t$の値の範囲を$(2)$で求めた$\alpha,\ \beta$を用いて表し，この範囲における$y_t$の最小値を求めよ．

座標平面において次の$2$つの$2$次曲線を考える．

(1)原点$\mathrm{O}$と直線$x=-2$からの距離が等しい点の軌跡の方程式は
\[ y^2=[ア](x+[イ]) \]
である．
(2)$2$直線$\displaystyle y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$，$\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$を漸近線にもち，$2$つの焦点の座標が$(-2,\ 0)$，$(8,\ 0)$である双曲線の方程式は
\[ \frac{(x-[ウ])^2}{[エ][オ]}-\frac{y^2}{[カ]}=1 \]
である．
(3)$(1)$と$(2)$の$2$つの曲線の共有点は$[キ]$個ある．

関数$f(x)=(x-7) |x-1|$について，次の問に答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x-7$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 3)$と$2$直線$y=x-7$，$x=3$で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$2x^2+3x-4=0$の解は$[$1$]$である．
(2)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．$1$次関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 5)$の値域が$-2 \leqq y \leqq 2$であるとき，$a,\ b$の値は$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)放物線$y=x^2+x+2$と直線$y=ax-a$が共有点をもたないような定数$a$の値の範囲は$[$4$]$である．
(4)多項式$P(x)=x^3+ax^2+2x+5a$を$x-3$で割った余りが$5$であるとき，定数$a$の値は$[$5$]$であり，商は$[$6$]$である．
(5)半径$r$の円$x^2+y^2=r^2$と直線$4x+3y-5=0$が接するとき，$r=[$7$]$である．また，接点の座標は$[$8$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$のとき，$\cos A$の値は$[$9$]$，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$10$]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$30$以下の自然数の集合を全体集合$U$とし，$U$の部分集合で$3$の倍数の集合を$A$，$U$の部分集合で$4$の倍数の集合を$B$とする．このとき，要素を書き並べる方法で表すと，$A \cap B=[$1$]$，$\overline{A} \cap B=[$2$]$である．
(2)$3$個の数字$0,\ 1,\ 2$を，重複を許して並べてできる$5$桁の整数は$[$3$]$個ある．そのうち，$0,\ 1,\ 2$の$3$個の数字がすべて使われている整数は$[$4$]$個ある．
(3)関数$y=\sin x \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$の最小値は$[$5$]$であり，関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{2}{3} \pi \right) (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値は$[$6$]$である．
(4)円$(x-a)^2+y^2=4$と直線$\displaystyle y=x-\frac{a}{2}$が接するとき，定数$a$の値は$a=[$7$]$または$a=[$8$]$である．
(5)不等式$\displaystyle 9^{x+\frac{1}{2}}-10 \cdot 3^x+3 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．
(6)方程式$\displaystyle \frac{1}{2}x^3+mx+n=0$の解の$1$つが$-1-\sqrt{3}i$のとき，実数$m,\ n$の値は$m=[$10$]$，$n=[$11$]$である．