以下の各問に答えよ．

(1)$6x^2-2y^2+xy-x+4y-2$を因数分解せよ．
(2)方程式$x^2-x=|x-2|+2$を解け．
(3)$x=3+\sqrt{2},\ y=3-\sqrt{2}$のとき，
$(ⅰ)$ $x^2+y^2$， \quad $(ⅱ)$ $x^3+y^3$， \quad $(ⅲ)$ $x^3-y^3$
の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\sin A:\sin B:\sin C=9:7:5$とする．$\sin A$の値を求めよ．

$xy$平面上に，円
\[ \begin{array}{l}
C_1:x^2-12x+y^2-4y+15=0 \\
C_2:x^2-4x+y^2-2y-15=0
\end{array} \]
があり，$C_1$と$C_2$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$および原点を通る円の方程式を求めよ．
(3)原点を中心とし，$C_1$に外接する円の半径を求めよ．

$xy$平面上に，円$K:x^2+y^2=1$と放物線$C:y=x^2-2$がある．$K$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta) (\pi<\theta<2\pi)$における$K$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$C$で囲まれる部分の面積を$S$とする．

(1)$\ell$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

座標平面上に，$2$つの円$C_1:x^2+y^2=1$，$C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=4$があり，$C_1$と$C_2$の共通接線を$n_1,\ n_2$（ただし$n_1$の傾きより$n_2$の傾きの方が大きい）とする．また，$C_1$と$C_2$の中心を結ぶ直線を$\ell$とし，$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を結ぶ直線を$m$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式，および$\ell$と$n_1$の交点の座標を求めよ．
(2)直線$n_1$と直線$\ell$とのなす角を$\displaystyle \alpha \left( \text{ただし} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とし，$\tan \alpha$および$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
(3)直線$n_2$の方程式を求めよ．
(4)直線$m$の方程式を求めよ．
(5)$3$つの直線$n_1,\ n_2,\ m$で囲まれた三角形の面積を求めよ．

$2$つの$2$次曲線$C_1:y=x^2$，$C_2:y^2=x$がある．次の各問に答えよ．

(1)$C_1$，$C_2$のいずれにも接する直線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引けるような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．このような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$C_1$上の相異なる$2$点$\mathrm{Q}_1(q_1,\ {q_1}^2)$，$\mathrm{Q}_2(q_2,\ {q_2}^2)$について，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$が$C_2$と接するための条件を求めよ．
(5)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．いま，その$2$本の接線と$C_1$との交点のうち，$\mathrm{P}$以外の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$および$\mathrm{Q}_2$とする．このとき，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$は再び$C_2$と接することを示せ．

次の各問に答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle H:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$について，次の問に答えよ．

(i) 双曲線$H$の焦点の座標を求めよ．
(ii) 双曲線$H$について正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ．
(iii) $(ⅱ)$で求めた漸近線と直交する直線が$H$と接するとき，その接点の座標を求めよ．

(2)不等式$9a>b,\ \log_ab>\log_ba^4+3$をすべて満たす整数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)直線$x-y+2=0$を$\ell$とし，直線$x+y-3=0$を$m$とする．$1$次変換$f$によって，直線$\ell$は$m$に移り，また直線$m$は$\ell$に移る．このとき，次の問に答えよ．

(i) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(ii) $A^{2013}$を求めよ．

$2$次正方行列$A_0,\ B$を
\[ A_0=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \]
とおく．$2$次正方行列$A_1,\ A_2,\ \cdots$を$A_{n+1}=BA_n+A_0 (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$で定める．

(1)$A=BA+A_0$を満たす$2$次正方行列$A$を求めよ．
(2)$B^2,\ B^3$を求めよ．
(3)$A_{15}$の表す$1$次変換を$f$とし，点$\mathrm{P}(-2t+3,\ t)$を$f$で移した点を$\mathrm{Q}$とする．$t$が実数全体を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$3$次方程式$x^3+(a+4)x^2+(4a+5)x+20=0$の$1$つの解が$1+2i$であるとき，実数$a=[ア]$であり，$1$つある実数解は$[イ]$である．
(2)$\log_{10}2=0.301$とするとき，$\log_25$の値を小数点$4$桁以下を切り捨て，小数点$3$桁まで求めると$[ウ]$となる．また，$2^n$が$10$桁の数となる最大の自然数$n$は$[エ]$である．

点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$を通り傾きが$m$の直線$\ell$と放物線$C:y=x^2$に対し，次の各問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$の$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，差$\beta-\alpha$を$m$を用いて表せ．
(3)$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積の最小値と，そのときの$m$の値を求めよ．

$x$に関する方程式$3 \log_x 5+2 \log_5 x=7$を解くと$x=[　]$である．また，すべての実数$x$に対して，不等式$x^2 \log_23+2x \log_2a+\log_23 \geqq x^2+2x+1$が成立するとき，$a$のとりうる値の範囲は$[　]$である．