曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$における接線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点，接線$\ell$と$y$軸の交点の座標をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$C$，接線$\ell$，$y$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$0 \leqq t \leqq 1$とする．このとき，$S(t)$の最大値およびそのときの$t$の値，$S(t)$の最小値およびそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

$a,\ b$を$\displaystyle a^2+\frac{b^2}{6}=1$を満たす正の実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 \sqrt{2}a & b \\
-b & -\sqrt{2}a
\end{array} \right)$に対して，以下の問に答えよ．

(1)実数$p,\ q$が$A^2=pA+qE$を満たすとき，$p,\ q$を$a$を用いて表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(-1)^kA^k$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$とし，$m$を正の整数とする．$x$と$y$についての方程式$A^m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-x \\
0
\end{array} \right)$が$x=y=0$以外の解をもつとき，$m$の満たす条件を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$2 \cdot 8^x-3 \cdot 4^{x+1}+5 \cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ．
(2)実数$\theta$に対し，関数$f(\theta)$と$g(\theta)$を，
\[ f(\theta)=(\cos \theta)(\cos 2\theta)(\cos 3\theta),\quad g(\theta)=(\sin \theta)(\sin 2\theta)(\sin 3\theta) \]
とおくとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) 関数$f(\theta),\ g(\theta)$は，それぞれ
\[ \begin{array}{l}
f(\theta)=p+q \cos 2\theta+r \cos 4\theta+s \cos 6\theta \\
g(\theta)=t+u \sin 2\theta+v \sin 4\theta+w \sin 6\theta
\end{array} \]
のように表されることを示せ．ただし，$p,\ q,\ r,\ s,\ t,\ u,\ v,\ w$は$\theta$によらない定数とする．
(ii) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle f(\theta)=g \left( \theta+\frac{\pi}{4} \right)$を満たすような$\theta$をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a_1=\frac{3}{2},\ a_{n+1}+2a_{n+1}a_n-3a_n=0 \ (n \geqq 1)$で与えられる数列$\{a_n\}$について，$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．また，一般項$a_n$を推測し，その推測の結果を数学的帰納法で証明せよ．
(2)$\displaystyle \frac{7}{12}\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$であることを利用して$\displaystyle \sin \frac{7}{12}\pi$を求め，$1 \leqq x \leqq 4$のとき，次の方程式を解け．
\[ \sin x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \]
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，$X=\log_2 \cos x$の範囲を求め，次の不等式を解け．
\[ 2(\log_2 \cos x)^2+(4-\log_2 3)\log_2 \cos x+2-\log_23 \leqq 0 \]
{\bf 注意：} $\log_2 \cos x$は$\log_2(\cos x)$を表す．

座標平面上の曲線$K$を$y=x^3-x+1$とする．

(1)点$(t,\ t^3-t+1)$における$K$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)点$(1,\ 5)$を通る直線$\ell$が$K$と接するとき，接点の座標を求めよ．
(3)直線$\ell$と$K$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(t,\ t)$，$\mathrm{B}(t-1,\ -t+1)$をとり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$t$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた方程式を満たす実数$t$が存在するための$x,\ y$についての条件を求め，条件を満たす点$(x,\ y)$全体の領域$D$を座標平面内に図示せよ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を$y=f(x)$とする．連立不等式
\[ y \geqq x,\quad y \geqq -x,\quad y \leqq 1,\quad y \geqq f(x) \]
の表す領域と領域$D$の共通部分の面積を求めよ．

$f(x)=2 \sin x+\cos 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めてグラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)方程式$f(x)=0$の解を$\alpha,\ \beta (0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi)$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$，$\sin \beta$，$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形で，第$4$象限に含まれる部分の面積を求めよ．

円$x^2+y^2=1$を$C$とし，点$(0,\ 2)$を通り傾き$a$の直線を$L$とする．次の問に答えよ．

(1)$L$と$C$が異なる$2$つの交点を持つような$a$の条件を求めよ．
(2)$L$と$C$が異なる$2$つの交点を持つとき，それら$2$交点の中点の軌跡を含む円の方程式を求めよ．

関数$f(x)$が次のように与えられているとする．
\[ f(x)=\frac{1}{4}(1-x^2)^2-\theta x \]
ただし$\theta$は実数とする．以下の問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{4} \right)$における接線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$(1)$で求めた接線によって囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)関数$f(x)$が極大値をもつときの$\theta$の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)異なる$2$点$(-3,\ -3)$，$(a,\ b)$を通る直線の方程式を求めよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(2)媒介変数表示$\left\{ \begin{array}{l}
x=2 \cos t \\
y=-\sin^2 t
\end{array} \right.$で表される曲線の概形をかけ．
(3)関数$\displaystyle f(t)=\frac{-\sin^2 t+3}{2\cos t+3}$の最大値および最小値を求めよ．