$xy$平面において，点$\mathrm{F}(p,\ 0)$と$y$軸から等距離にある点の軌跡を$C$とする．ただし$p>0$とする．次の各問いに答えよ．

(1)$C$を表す方程式を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし$y_0 \neq 0$とする．
(3)(2)の$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{FP}=\mathrm{FQ}$であることを証明せよ．

曲線$C:y=x-1+2 \sqrt{x-1}$に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$から接線$\ell$を引く．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=x \sin x$とおく．また，曲線$y=f(x)$上の点$(\alpha,\ f(\alpha))$における接線の方程式を$y=g(x)$とおく．$\alpha>0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$g(x)$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)直線$y=g(x)$が原点を通るような最小の$\alpha$を$\alpha_1$とし，$\alpha=\alpha_1$のときの$g(x)$を$h(x)$とおく．$\alpha_1$の値と$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において$h(x) \geqq f(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において直線$y=h(x)$と曲線$y=f(x)$で囲まれてできる図形の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$2 \cdot 8^x-3 \cdot 4^{x+1}+5 \cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$が，$a_1=\sin^2 \theta,\ a_{n+1}=4a_n(1-a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められているとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $a_2$と$a_3$を，$\theta$を用いて表せ．
(ii) $a_n$が$\theta$と$n$を用いてどのように表されるのか予想し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

$xy$平面において，方程式$x+3y=6$で表される直線を$\ell_0$とし，方程式$y=x^2-1$で表される放物線を$C_0$とする．$\ell_0$に関して$C_0$と対称な放物線を$C_1$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}(a,\ b)$と点$\mathrm{Q}(c,\ d)$が$\ell_0$に関して対称であるとき，$a,\ b$を用いて$c$と$d$を表しなさい．
(2)$C_1$上の点のうち，$x$座標が最も大きい点の座標を求めなさい．
(3)原点を通る直線$\ell_1$に関して$C_1$と対称な放物線を$C_2$とする．$C_2$が放物線$x=-y^2$を平行移動して得られる放物線に一致するとき，$\ell_1$の方程式を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)異なる$2$点$(-3,\ -3)$，$(a,\ b)$を通る直線の方程式を求めよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(2)媒介変数表示$\left\{ \begin{array}{l}
x=2 \cos t \\
y=-\sin^2 t
\end{array} \right.$で表される曲線の概形をかけ．
(3)関数$\displaystyle f(t)=\frac{-\sin^2 t+3}{2\cos t+3}$の最大値および最小値を求めよ．

円$C_1:x^2-4x+y^2=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$がある．次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$と直線$\ell$の交点のうち，原点$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，原点$\mathrm{O}$を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る放物線$C_2$の方程式を$y=ax^2$とする．$a$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを$\tan \theta$と表す．そのときの$\theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)円$C_1$と直線$\ell$で囲まれた図形のうち，直線$\ell$の上側にある部分の面積$S_1$を求めよ．
(4)円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形のうち，放物線$C_2$の上側にある部分の面積$S_2$を求めよ．
(5)放物線$C_2$の接線で，直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるものを考える．そのすべてについて，接点の$x$座標を求めよ．

関数$f(x)=\log (x^2-x+2) \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数を表している．

(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の極値を求めよ．
(2)$x$についての方程式$\log (x^2-x+2)=x$は$\displaystyle \frac{1}{2}<x<1$の範囲に実数解をただ$1$つもつことを示せ．必要であれば，$\log 2<0.7$，$\log 7>1.9$であることを用いてよい．
(3)$y=f^\prime(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最大値と最小値を求めよ．
(4)平均値の定理を用いることで，$0 \leqq a<b \leqq 1$となる実数$a,\ b$に対して，$\displaystyle |f(b)-f(a)|<\frac{1}{2}|b-a|$となることを示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 4 \\
1 & 6
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)連立$1$次方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x+4y=kx \\
x+6y=ky
\end{array} \right.$が$x=y=0$以外の解をもつような実数$k$の値を$2$つ求めよ．
(2)(1)で求めた$k$の値を$a,\ b \ (a<b)$とし，$B=\left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right)$とする．実数$s,\ t$に対し，行列$P=\left( \begin{array}{cc}
s & t \\
1 & 1
\end{array} \right)$が$AP=PB$を満たすとき，実数$s,\ t$の値を求めよ．
(3)(2)で定めた行列$B$について，$B^n$（ただし，$n$は自然数）を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．
(4)$A^n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

$2$つの直線$\ell_1:y=-2x+3$と$\ell_2:y=5$の交点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた円を$C_1$とし，円$x^2+y^2=4$を$C_2$とする．

(i) 点$(\alpha,\ \beta)$が$C_1$と$C_2$の交点であるとき
\[ \alpha-5 \beta+4=0 \]
が成り立つことを示せ．
(ii) $C_1$と$C_2$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めよ．