$a,\ b$を実数とし，行列$A$を$2$次の正方行列とする．$x,\ y$についての連立$1$次方程式を，行列を用いて
\[ A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \cdots\cdots (*) \]
と表す．次に答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
6 & 4
\end{array} \right)$のとき，連立$1$次方程式$(*)$を解け．
(2)$c$を実数とし，$a \neq 0,\ b \neq 0$とする．また，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & 1
\end{array} \right)$とする．

(i) $a \neq bc$とする．連立$1$次方程式$(*)$がただ$1$つの解をもつことを示せ．また，連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$もただ$1$つの解をもつことを示せ．
(ii) 連立$1$次方程式$(*)$が解をもたないための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．この条件が成り立つとき，連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$も解をもたないことを示せ．

(iii) 連立$1$次方程式$(*)$が解を無数にもつための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．この条件が成り立つとき，自然数$m$に対して，連立$1$次方程式
\[ (A+A^2+A^3+\cdots +A^{2m-1}) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
も解を無数にもつことを示せ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上を運動する点$\mathrm{P}(x,\ y)$が
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で表されるとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．（$C$は右図のように \\
なっている．）以下の各問に答えよ．
\img{85_2188_2013_1}{40}


(1)曲線$C$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，(2)の接線$\ell$の傾きが負になる$t$の範囲を求めよ．
(4)$t$が(3)で求めた範囲にあるとき，$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする．$c=\cos t$として，$S,\ T$をそれぞれ$c$を用いて表せ．
(5)(4)の$S$と$T$について$S=T$が成り立つとき，直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めよ．

下の問いに答えよ．

(1)方程式$x \cos x=\sin x$は$\displaystyle \frac{4\pi}{3}<x<2\pi$の範囲にただ$1$つの解をもつことを示せ．
(2)(1)の解を$\alpha$とおくとき，$0<x<2\pi$において不等式
\[ \frac{\sin x}{x} \geqq -\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}}>-\frac{3}{4\pi} \]
が成り立つことを示せ．

次の設問に答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-ax-a+8=0$が，異なる$2$つの正の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(2)次の等式を満たす実数$x$の値を求めよ．
\[ |x|+2 |x-2|=x+2 \]

$2$つの円
\[ \left\{ \begin{array}{l}
C_1:x^2+y^2=5, \\
C_2:x^2+y^2-8x+6y=0
\end{array} \right. \]
について，次の設問に答えよ．

(1)$2$つの円$C_1,\ C_2$の共有点を通る直線の$y$切片を求めよ．
(2)$2$つの円$C_1,\ C_2$の共有点と$C_2$の中心$\mathrm{O}_2$を通る円$C_3$の方程式を求めよ．

$a$を正の定数とする．次の方程式で表される円$C_1$と放物線$C_2$がある．
\[ C_1:(x-2a)^2+y^2=a^2,\quad C_2:y=\frac{2}{5a^2}x^2+1 \]
$C_1$の中心を$\mathrm{P}$，$C_2$の頂点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2=a^2-1$を満たす点$\mathrm{R}$の軌跡を$C_3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_3$を表す方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$が共有点をもつとき，$C_2$と$C_3$は共有点をもたないことを示せ．

関数$f(x)$は$\displaystyle f^\prime(x)=18 \int_0^1 xf(t) \, dt+1$を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=0$のとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \neq 0$であり，方程式$f(x)=0$はただ$1$つの実数解をもつ．このとき，$f(x)$を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \ (x \geqq 0)$と曲線$C_2:x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$がある．曲線$C_1$の点$\mathrm{P}(\sqrt{s},\ \sqrt{t}) \ (s>0,\ t>0)$における法線を$\ell$とする．次に答えよ．

(1)$s$を$t$を用いて表せ．また，直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が曲線$C_2$に接するときの点$\mathrm{P}$の座標および接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は(2)で求めた点とし，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{R}$とする．曲線$C_1$，弧$\mathrm{RQ}$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

方程式$7x+13y=1111$を満たす自然数$x,\ y$に対して，次の問いに答えよ．

(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．

$2$次方程式$x^2+\sqrt{2}x+1=0$について，次の問いに答えよ．

(1)この$2$次方程式の解を求めよ．
(2)(1)で求めた解のうち，虚部が正のものを$\alpha$，負のものを$\beta$とおく．このとき，以下の値を求めよ．
\[ (ⅰ) \alpha^4 \qquad (ⅱ) \alpha^8 \qquad (ⅲ) \alpha\beta \qquad \tokeishi \alpha^{1010} \qquad \tokeigo \alpha^{2017}\beta^{2013} \]