関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}$に対して，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$，および，$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$について，傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$，(3)で求めた接線$\ell$，直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$n$を自然数とする．$\alpha$を実数とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
\alpha+1 & 1 \\
-1 & \alpha-1
\end{array} \right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(A-\alpha E)^2=O$であることを示せ．ただし，$E$は$2$次単位行列，$O$は$2$次零行列とする．
(2)$A^n$を求めよ．
(3)連立$1$次方程式$A^n \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$の解$x,\ y$をすべて求めよ．

図に示したように第$1$象限内に原点を頂点の一つとして有する \\
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
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(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を曲線$C$とする．曲線$C$と直線$y=mx$の交点を点$\mathrm{P}$，曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$との交点を点$\mathrm{Q}$とする．ここで傾き$m$を$\displaystyle m>\frac{1}{2}$の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ．
(3)接線$L$と直線$y=mx$の交点の座標を，$m$を用いて表せ．
(4)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分をそれぞれ$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$とする．曲線$C$と$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積$A$を，$m$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$から$y$軸に垂直に引いたそれぞれの線分と，$y$軸および曲線$C$で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる体積を，$m$を用いて表せ．

$f(x)=(1-x)^3$とし，曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ 1)$における接線の方程式を$y=p(x)$，点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を$y=q_t(x)$とする．さらに，関数$F(t)$を
\[ F(t)=\int_0^t p(x) \, dx+\int_t^1 q_t(x) \, dx \]
と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$F(t)$を求めよ．
(2)$F^\prime(0)$，$F^\prime(1)$の値を求めよ．
(3)$F(t)$を最大にする$t$の値がただ$1$つ定まることを示せ．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,\ (1+t)\cos t+\sin t)$，$\mathrm{B}(-1,\ -(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$k$を定数とし，直線$\ell_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，直線$\ell_t$の通りうる領域を図示せよ．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,\ (1+t)\cos t+\sin t)$，$\mathrm{B}(-1,\ -(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$k$を定数とし，直線$\ell_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，直線$\ell_t$の通りうる領域を図示せよ．

$3$次関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たすとする．

(i) 関数$f(x)$は，$x=1$と$x=2$で極値をもつ
(ii) 整式$f(x)$を$x^2-3x+1$で割った余りは$-x+2$である．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$を解け．
(3)関数$f(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．

$2$つの実数$a,\ b$は$|2a|-2<b<2$をみたしている．このとき，$x$の$4$次方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \cdots\cdots (*)\]
を考える．

(1)$x \neq 0$とする．$\displaystyle z=x+\frac{1}{x}$とおくとき，方程式$(*)$を$z$で表せ．
(2)(1)で求めた$z$の方程式の解は，すべて絶対値が$2$以下の実数であることを示せ．
(3)複素数$\alpha=p+qi$（$p,\ q$は実数）に対し，$\sqrt{p^2+q^2}$を複素数$\alpha$の「大きさ」ということにする．ただし$i$は虚数単位を表す．このとき，$4$次方程式$(*)$の解はすべて虚数で，それらの大きさはすべて$1$であることを示せ．

関数$f(x)=x^3-3a^2x-2a^2$を考える．ただし，$a>1$とする．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)定数$k \ (k<0)$に対して，方程式$f(x)=k$が相異なる$2$つだけの実数解$x_1,\ x_2$をもつとする．このとき，$k,\ x_1,\ x_2$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$x_1<x_2$とする．
(3)$x_1,\ x_2$を(2)で求めた値とするとき，$\mathrm{P}(x_1,\ f(x_1))$，$\mathrm{Q}(x_2,\ f(x_2))$，原点の$3$点を通る放物線を求めよ．
(4)$k$が(2)で求めた値をとるとき，(3)で求めた放物線と直線$y=k$で囲まれた図形の面積を求めよ．