「方程式」について
タグ「方程式」の検索結果
（74ページ目：全1641問中731問～740問を表示）
公立 京都府立大学 2014年 第2問$p,\ q$は自然数とする．$\alpha,\ \beta$は$\alpha>\beta$を満たす$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解とする．$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を
$a_1=0,\quad b_1=1$
$a_{n+1}=(p+q)a_n+pb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_{n+1}=pa_n+qb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)$a_n>0 (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$かつ$b_n>0 (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$となることを示せ．
(2)$c_n=\alpha a_n+b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，$d_n=-a_n+\alpha b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$c_n=(p \alpha+q)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$かつ$d_n=\alpha (p \beta+q)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)$p \beta+q>0$のとき，$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}>\frac{a_n}{b_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
$a_1=0,\quad b_1=1$
$a_{n+1}=(p+q)a_n+pb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_{n+1}=pa_n+qb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)$a_n>0 (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$かつ$b_n>0 (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$となることを示せ．
(2)$c_n=\alpha a_n+b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，$d_n=-a_n+\alpha b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$c_n=(p \alpha+q)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$かつ$d_n=\alpha (p \beta+q)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)$p \beta+q>0$のとき，$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}>\frac{a_n}{b_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
公立 高崎経済大学 2014年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$2$次方程式$3x^2-5x+3=0$を解け．
(2)$x \leqq 2$のとき，$4 \cdot 2^{2x}-2^{x+2}+2$の最小値とそのときの$x$の値，最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(1)$2$次方程式$3x^2-5x+3=0$を解け．
(2)$x \leqq 2$のとき，$4 \cdot 2^{2x}-2^{x+2}+2$の最小値とそのときの$x$の値，最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
公立 高崎経済大学 2014年 第3問放物線$y=2x^2+px+q$上の点$(1,\ -1)$における接線が原点を通るとき，以下の各問に答えよ．
(1)定数$p,\ q$の値を求めよ．
(2)原点からこの放物線に引いた接線の方程式をすべて求めよ．
(3)この放物線と$(2)$の接線で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)定数$p,\ q$の値を求めよ．
(2)原点からこの放物線に引いた接線の方程式をすべて求めよ．
(3)この放物線と$(2)$の接線で囲まれる部分の面積を求めよ．
公立 三重県立看護大学 2014年 第3問放物線$C:y=x^2$，直線$\ell_1:y=-x+2$とする．このとき，次の$(1)$と$(2)$の設問に答えなさい．$(2)$では図も示しなさい．
(1)放物線$C$と直線$\ell_1$の交点における接線の方程式を求めなさい．
(2)放物線$C$と$(1)$で求めた接線とで囲まれた部分の面積を求めなさい．
(1)放物線$C$と直線$\ell_1$の交点における接線の方程式を求めなさい．
(2)放物線$C$と$(1)$で求めた接線とで囲まれた部分の面積を求めなさい．
公立 島根県立大学 2014年 第3問$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$について，$f(x)$が$x=-1$で極大値$\displaystyle \frac{5}{3}$をとり，$x=3$で極小値$-9$をとるとき，次の問いに答えよ．
(1)定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフを$G$とし，その接線$\ell$が点$(2,\ -6)$を通るとき，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)グラフ$G$と接線$\ell$との共有点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．グラフ$G$上の点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
(1)定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフを$G$とし，その接線$\ell$が点$(2,\ -6)$を通るとき，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)グラフ$G$と接線$\ell$との共有点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．グラフ$G$上の点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
公立 島根県立大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．
(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．
(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）
国立 東北大学 2013年 第1問$k$を実数とする．$3$次式$f(x)=x^3-kx^2-1$に対し，方程式$f(x)=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．$g(x)$は$x^3$の係数が$1$である$3$次式で，方程式$g(x)=0$の$3$つの解が$\alpha\beta,\ \beta\gamma,\ \gamma\alpha$であるものとする．
(1)$g(x)$を$k$を用いて表せ．
(2)$2$つの方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解をもつような$k$の値を求めよ．
(1)$g(x)$を$k$を用いて表せ．
(2)$2$つの方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解をもつような$k$の値を求めよ．
国立 埼玉大学 2013年 第3問関数$f(x)=xe^{-x}$について，実数$a,\ b$は次の条件を満たすものとする．
$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$
また，点$(0,\ 0)$，$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし，点$(1,\ 0)$，$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする．
(1)$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を利用して，$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \]
ただし，必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい．
$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$
また，点$(0,\ 0)$，$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし，点$(1,\ 0)$，$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする．
(1)$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を利用して，$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \]
ただし，必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい．
国立 東北大学 2013年 第1問$a$を実数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2-2(a+1)x+3a=0$が，$-1 \leqq x \leqq 3$の範囲に$2$つの異なる実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，放物線$y=x^2-2(a+1)x+3a$の頂点の$y$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-2(a+1)x+3a=0$が，$-1 \leqq x \leqq 3$の範囲に$2$つの異なる実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，放物線$y=x^2-2(a+1)x+3a$の頂点の$y$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
国立 広島大学 2013年 第1問放物線$y=2x^2-8$を$C$とする．$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0) \ (a>0)$を通り$C$と接する直線が$2$本あるとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$つの接点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha=3$のとき，$a$の値と$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$本の接線と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$つの接点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha=3$のとき，$a$の値と$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$本の接線と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．