以下の各問に答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$x^2+ax+a+8=0$が異なる$2$つの実数解をもち，共に$1$より大きくなるような$a$の範囲を求めよ．
(2)${0}^{\circ} \leqq \theta \leqq {180}^{\circ}$のとき，関数$y=\sin^4 \theta-2 \sin^2 \theta+\cos^4 \theta$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)年利率$r \, \%$，$1$年ごとの複利で$y$万円を預けると，$x$年後に元利合計は$y(1+0.01r)^x$万円となる．ただし，$r$は整数とする．このとき，以下の各問について別添の常用対数表（省略）を用いて答えよ．

(i) 年利率$2 \, \%$で$10$万円を預けると，元利合計が初めて$15$万円を超えるのは何年後か求めよ．
(ii) 元利合計が$10$年で預けた金額の倍以上になるような最小の$r$を求めよ．

(2)曲線：$y=x^3-5x^2+2x+8$がある．以下の各問に答えよ．

(i) 曲線と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(ii) 曲線と$y$軸との交点における曲線の接線の方程式を求めよ．
(iii) 曲線と$(2)$で求めた直線で囲まれる図形の面積を求めよ．

$n$は整数の定数とし，$P(x)=x(x+1)(x+5)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$についての$3$次方程式$P(x)=P(1)$を解け．
(2)$x$についての$3$次方程式$P(x)=P(n)$が異なる$3$つの実数解をもつとき，$n$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数の定数とする．関数$f(x)=-x^3+3x^2+ax+b$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が極大値と極小値をもつための条件を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=p$で極大，$x=q$で極小となり，かつ$p^2+q^2=10$が成り立つとする．このとき，$a,\ p,\ q$の値を求めよ．
(3)$(2)$において，方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための条件を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$\log_3 (x-1)+\log_9 (x+9)-1=0$を解け．
(2)$1$辺の長さが$1$の正方形の紙から右図のように高さが$x$の合同な$4$枚の二等辺三角形を切りとって除き，四角錐の展開図を作る．その展開図を折り曲げて作られる四角錐の体積$V$が最大となる$x$と，その時の体積$V$の最大値を求めよ．
（図は省略）

$f(x)$は$x$の$4$次関数であり，点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，点$\mathrm{B}(0,\ k)$，点$\displaystyle \mathrm{C} \left( -1,\ \frac{13}{4} \right)$の$3$点で極値をもつ．次の問いに答えよ．

(1)$k$および$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$が原点$\mathrm{O}$になるように，曲線$y=f(x)$を平行移動した曲線の方程式$y=g(x)$を求めよ．
(3)放物線$y=px^2$が$y=g(x)$と原点$\mathrm{O}$以外で共有点をもたないための$p$の条件を求めよ．
（図は省略）

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(\log x)^2}=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_{6\pi}^{7\pi} x \sin x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \cos x \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n(n+3)}-n)=[ニ] \]
(3)$3^x=5^y=15^{6}$をみたす実数$x,\ y$について，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[ホ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$からの距離の比が$1:2$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を表す曲線の方程式は$[ヘ]$である．
(5)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 3,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ -2)$の両方に垂直で，大きさが$1$であるベクトルは$[ト]$と$[チ]$である．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を相異なる実数とする．$x,\ y,\ z$に関する連立$3$元$1$次方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-ay+a^2z=a^4 \\
x-by+b^2z=b^4 \\
x-cy+c^2z=c^4
\end{array} \right. \]
を解きたい．その解を基本対称式
\[ \begin{array}{l}
A=a+b+c \\
B=ab+bc+ca \\
C=abc
\end{array} \]
を用いて表せ．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$をとる．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の内心を求めよ．
(3)行列$A$を
\setstretch{2.5}
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
\end{array} \right) \]
\setstretch{1.4}
とおく．このとき，行列の和
\[ A+A^2+\cdots +A^7+A^8 \]
を，（簡潔な形で）求めよ．

定数$a$を正の実数とする．$2$つの放物線$C_1:y=2x^2+1$，$C_2:y=-\sqrt{2}(x+a)^2+1$がある．$C_1$，$C_2$の両方に接する直線を$C_1$，$C_2$の共通接線という．以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$上の任意の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1$，$C_2$の共通接線がちょうど$2$本存在することを示せ．
(3)$C_1$，$C_2$の$2$本の共通接線と$C_1$とで囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．

$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える．ただし，$a$は定数である．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている．以下の問題に答えよ．

(1)曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．
(2)直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ．
(4)関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．