$s,\ t,\ u$を実数，$i$を虚数単位とし，$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$とする．方程式
\[ f(x)=x^4+sx^3-tx^2+ux+1=0 \]
が$\omega$を解にもつとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$-t=s+1,\ u=s$であることを示しなさい．
(2)$f(\omega^2)=0$であることを示しなさい．
(3)方程式$f(x)=0$が$\omega$，$\omega^2$と異なる解$\alpha$を$2$重解にもつような$s$と$\alpha$の組$(s,\ \alpha)$をすべて求めなさい．

$f(x)=x(x-2)-6 |x|$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$の最小値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t)) (t>0)$を通る接線が曲線$y=f(x)$の$x<0$の部分と点$\mathrm{B}$で接しているとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標と接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$において曲線$y=f(x)$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積を求めなさい．

$a$を正の実数とする．$x$の方程式$\{ \log (x^2+a) \}^2+\log a=1$の異なる実数解の個数を，$a$の値によって場合分けして求めよ．ただし，対数は自然対数であるとする．

曲線$y=x^2 (x>0)$を$C_1$とする．この$C_1$と$x$軸の両方に接し，半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C_2$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の外部において，$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$f(x)=|x^2-3x+2|$とする．曲線$y=f(x)$を$C$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ f(a))$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<a<2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$の共有点のうち，接点$\mathrm{A}$とは異なる$2$つの点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$で表せ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

$y=2(x-1)(x^2-2x-2)$で与えられる平面上の曲線$C$を考える．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて答えなさい．
(2)$x=a$で曲線$C$と接する接線の方程式を$a$を用いて答えなさい．
(3)$x=a$で曲線$C$と接する接線と$y$軸との交点の$y$座標を$b$とする．$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a \leqq 3$における$b$の最小値と最大値を答えなさい．また，$b$の値が最小，最大となるときの$a$の値をそれぞれ答えなさい．

$a,\ b$は定数で，$a \geqq b$である．

(1)$2$次方程式$x^2-ax+b=0$の$2$つの解が正の整数であるとき，$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2-ax+b=0$および$x^2-bx+a=0$の解がすべて正の整数であるとき，$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$（$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする）に対して，$2$次方程式$x^2-(a+d)x+ad-bc=0$は相異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．いま，
\[ P=\frac{1}{\alpha-\beta}(A-\beta E),\quad Q=\frac{1}{\beta-\alpha}(A-\alpha E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)$PQ=QP=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は$2$次の零行列である．
(2)$P+Q=E,\ P^2=P$および$Q^2=Q$が成り立つことを示せ．
(3)$A=\alpha P+\beta Q$が成り立つことを示せ．
(4)$A^n=\alpha^n P+\beta^n Q (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．

座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$，点$\mathrm{F}(1,\ 0)$，点$\mathrm{F}^\prime(-1,\ 0)$，および直線$\ell:x=2$がある．点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．また，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$，$\mathrm{H}$との距離を，それぞれ$\mathrm{PF}$，$\mathrm{PF}^\prime$，$\mathrm{PH}$とし，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$の距離を$r$とする．比$\displaystyle \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PF}+\mathrm{PF}^\prime$は定数となる．その値を求めよ．
(3)$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime$を$r$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあり，$\displaystyle \angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき，$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，$C$上の求めた点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．

曲線$y=\log (kx)$を$C$とする．曲線$C$，原点$\mathrm{O}$を通る曲線$C$の接線$\ell$，$x$軸とで囲まれた図形を$D$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_x$を求めよ．
(3)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_y$を求めよ．
(4)$V_x=V_y$となる$k$の値を求めよ．