次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とし，$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{4}$であるとする．$\cos 2\theta,\ \cos 3\theta$の値を求めよ．
(2)$x$軸に接し，点$(3,\ 4)$を通る円の中心が描く軌跡の方程式を求めよ．
(3)硬貨を$3$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数より多いのは，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目表となる場合と，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目裏となる場合の$2$通りである．硬貨を$5$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数よりも多く，最終的に表が$3$回出る確率を求めよ．

$y=\sqrt{x}$で表される曲線$C$と，$C$上の点$\mathrm{A}(4,\ 2)$が与えられている．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線および法線の方程式を求めなさい．
(2)$(1)$で求めた法線と曲線$C$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めなさい．

数列$\{\beta_n\}$の階差数列が，初項$3$，公差$2$の等差数列であるとし，$\beta_1=1$とする．$2$次方程式
\[ x^2-a_nx+b_n=0 \]
の$2$つの解が$\beta_n,\ \beta_{n+1}$となるとき，次の問に答えよ．

(1)$b_2=[ナニ]$である．
(2)$a_9=[ヌネノ]$である．
(3)$x^2-a_nx+b_n$の最小値を$M_n$とすると，数列$\{M_n\}$の階差数列は，初項$[ハヒ]$，公差$[フヘ]$の等差数列となる．

以下の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．

(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$がある．点$\mathrm{P}$が直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$上を動くとき，長さ$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．

(4)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．

(5)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)座標平面上の点と方程式に関する以下の問に答えよ．

\mon[$①$] 点$(2,\ 3)$を通る傾き$m$の直線の方程式を求めよ．
\mon[$②$] 点$(2,\ 3)$から円$x^2+y^2=1$に引いた接線の傾きを求めよ．
\mon[$③$] 条件$x^2+y^2=1,\ y-x \geqq -1$を同時に満たす点$(x,\ y)$について$\displaystyle \frac{y-3}{x-2}=k$とおくとき，$k$の最大値を求めよ．

(2)三角関数に関する以下の問に答えよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

\mon[$①$] $\sin \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
\mon[$②$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．
\mon[$③$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$に対する$\displaystyle \frac{\sin \theta-3}{\cos \theta-2}$の最大値と最小値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．

(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．

(4)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．

$a>0$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=(x-1)(x^2-2x-3ax+2a+2a^2) \]
とし，$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする．$C$は$x$軸と$3$つの異なる交点を持ち，その中の$1$つを点$\mathrm{P}(1,\ 0)$とし，残り$2$つを$x$座標の小さい方から点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間にあるとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の範囲を求めよ．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る放物線$D$を$y=g(x)$とする．$D$の点$\mathrm{P}$における接線が$(1)$で求めた$\ell$と一致するとき，$g(x)$を$a$を用いて表せ．さらに，定積分
\[ I=\int_0^1 g(x) \, dx \]
の値を$a$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_3 x+\log_2 y=4$，$\log_3 x \cdot \log_2 y=3$のとき
\[ (x,\ y)=([ア],\ [イ]),\ ([ウエ],\ [オ]) \]
である．
(2)方程式$\log_2 (x-2)+\log_2 (x+1)=2$の解は$x=[カ]$である．
(3)方程式$\log_4 x^2-\log_2 x \sqrt{x}+\log_{16}x^3=1$の解は$x=[キク]$である．

$a>0$に対して$2$次方程式$ax^2+bx+c=0$は$2$つの異なる実数解$\alpha,\ \beta$（ただし$\alpha>\beta$）を持つという．このとき次の$5$つの式を係数$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．

(1)$\alpha+\beta$
(2)$\alpha \beta$
(3)$\alpha^2+\beta^2$
(4)$\alpha^2-\beta^2$
(5)$\alpha^3+\beta^3$

$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+2ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．重解の場合は$\alpha=\beta$と考える．次の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$が実数で，$|\alpha| \leqq 1$，$|\beta| \leqq 1$をみたすとき，点$(a,\ b)$の存在範囲を図示せよ．
(2)$\alpha$は虚数とし，$\alpha=p+qi$とおく．ただし，$p,\ q$は実数であり，$i$は虚数単位である．$p,\ q$が$p^2+q^2 \leqq 1$をみたすとき，点$(a,\ b)$の存在範囲を図示せよ．