次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．

次の各問に答えよ．

(1)$(1$-$1)$ 連立不等式$600<2^{x+2}-2^x<900$を満たす自然数$x$を求めよ．
$(1$-$2)$ 連立不等式$21<\log_2 x^6<22$を満たす自然数$x$を求めよ．
(2)$(2$-$1)$ $0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\sqrt{3} \sin x-\cos x=a$が相異なる$2$つの解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(2$-$2)$ $2$次方程式$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$の$2$つの解を$\tan \alpha$，$\tan \beta$とするとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha+\beta<\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}={120}^\circ$とし，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ $\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
$(3$-$2)$ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

次の各問に答えよ．

(1)$1$から$8$までの数字を$1$つずつ記した$8$個の球が袋の中に入っている．この袋から$1$個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を$3$回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った$3$個の数字のうち最大の数と最小の数の差を$R$とする．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $R=1$となる確率を求めよ．
$(1$-$2)$ $R=4$となる確率を求めよ．
$(1$-$3)$ $R$の期待値を求めよ．
(2)$x$についての$2$次方程式$x^2+(\log_a 5)x+\log_5 a^2=0$が相異なる負の解をもつための定数$a$のとるべき値の範囲を求めよ．
(3)行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array} \right)$とし，さらに，$A^2=B$および$B^2=A$を満たす行列$B$が存在するとする．ただし$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ 行列$A^3$を求めよ．
$(3$-$2)$ $a,\ b$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．

$0<a<2$とする．曲線$y=x^4$の点$(a,\ a^4)$における接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=x^4$と$\ell$および$y$軸で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．
(3)曲線$y=x^4 (x \geqq a)$と直線$y=a^4$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T(a)$を求めよ．
(4)$S(a)+T(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

$3$つの直線$\ell:ax-y=0$，$m:x-2y-2=0$，$n:x+y-5=0$があり，直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{A}$，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{B}$，直線$m$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とし，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のすべてを通る円を$D$とする．ただし，$a$は実数で$\displaystyle a>\frac{1}{2}$とする．

(1)$\mathrm{BC}$が円$D$の直径となるとき点$\mathrm{A}$の座標は$[$7$]$である．
(2)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{15}{2}$，かつ$\angle \mathrm{A}$が鋭角であるとき，$a=[$8$]$であり，円$D$の方程式は$[$9$]$となる．

点$(p,\ 0)$を通り，楕円$4x^2+y^2=4$に接する直線の方程式は$y=[$15$]$および$y=[$16$]$で，接点の$x$座標は$x=[$17$]$である．また，$p=[$18$]$のとき，$2$つの接線は直交する．ここで，$p$は実数で$p>2$とする．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．

つぎの$[　]$にあてはまる答を記せ．

(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\theta=[ア]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である．

(2)$a$を実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき，$a$の値は$[ウ]$である．また，この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である．
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である．また，この領域上の点$(x,\ y)$のうち，$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である．
(4)$n$は正の整数とする．階段を$1$度に$1$段，$2$段または$3$段登る．このとき，$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする．例えば，$a_1=1$であり，$a_2=2$である．

(i) $a_3$の値は$[キ]$である．
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である．
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である．

(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく．直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき，法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である．
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である．

$a$は$0<a<e$を満たす定数とする．曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$，法線を$m$とおく．以下の問に答えよ．必要ならば$\displaystyle e=\lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}}$で，$2.718<e<2.719$であることを用いてよい．

(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)接線$\ell$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S(a)$とおくとき，$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，$(2)$の$S(a)$を最大にする$a$の値と$S(a)$の最大値を求めよ．
(4)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，法線$m$が点$(e,\ 0)$を通るような$a$の値の個数はただ$1$個であることを示せ．